問題
次の各問に答えよ.
問1 \(i\)は虚数単位とする. 複素数\(z\)が, 絶対値が2である複素数全体を動くとき, \(|z-\frac{i}{z}|\)の最大値と最小値を求めよ.
問2 次の定積分の値を求めよ.
(1) \(\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx\)
(2)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}dx\)
方針
問1
\(z\)の絶対値が2になることから、実数\(\theta\) (\(0\leq \theta <2\pi\))を用いて\(z=2(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)の形で表せるため、これを\(|z-\frac{i}{z}|\)に代入して考える。
問2
(1)分母の形を見ると、\(x=\tan{\theta}\)による置換積分をすれば上手くいきそうだと考えられる。
しかし、はじめからこのような置換積分をすると計算が複雑になってしまうことから、次数下げができる項については適宜次数下げを行ってから置換積分をする。
(2)\(1+\cos{\theta}\), \(1-\cos{\theta}\)の形があることから、分母と分子の両方を2で割って半角の公式を使うことを考える。
解答
