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問題 \(a(1)=2\)とし、\(a(2),a(3),a(4),...\)を次の関係で定める。\[a(2n)=3a(n)+1,\ \ \ \ a(2n+1)=3a(n)+2\ \ (n=1,2,...)\]以下の問に答えよ。 (1) \(a(7),a(9)\)を求めよ。 (2) 自然数\(n\)に対して、\(a(2^n+1)\)は、\(1\)または\(2\)のいずれかの値...

Ⅰ 問題 (ⅰ) \(2^{1-3x}\ge\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big)^x\) を満たす実数 \(x\) の値の範囲は \(\boxed{　ア　}\) である。(ⅱ)赤玉３個と白玉４個を無作為に１列に並べるとき，白玉が両端にある確率は \(\boxed{　イ　}\) である。(ⅲ) \(x,y,z\) は実数...

問題 \(k\)を自然数とする。方程式\[\sqrt{m-\sqrt{n}}+\sqrt{m+\sqrt{n}}-\frac{1}{k}\sqrt{mn}=0\]を満たす自然数の組\((m,n)\)を自然数解と呼ぶ。以下の問いに答えよ。 (1) 自然数解\((m,n)\)が存在するならば、\(2k^2\leq n<4k^2\)であることを示せ...

Ⅲ 問題 実数 \(a,\;b\) は定数とする。２次関数 \(f(x)=x^2+ax+b\) に対して，座標平面上の放物線 \(C\) を \(C:y=f(x)\) とする。 \(C\) 上の点 \(P\) を \(P(2\sqrt{2},\;f(2\sqrt{2}))\) とし，また，\(C\) と \(y\) 軸の交点を \(Q\) とする。さらに，...

Ⅱ 問題 \(n\) を１以上の整数とする。箱の中に１から７までの数字が１つずつ書かれた７枚のカードがある。ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする。「この箱から１枚のカードを無作為に取り出し，そのカードに書かれた数字を記録して...

Ⅰ 問題 (ⅰ)\(x+y=\sqrt{5}, xy=1\) のとき，\(x^4+y^4=\boxed{　ア　}\) である。(ⅱ)\(0\le x<2\pi\) のとき，\(\sqrt{2}\sin{\Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)}+2\cos{x}\) の最大値は \(\boxed{　イ　}\) である。(ⅲ)等式 \(\log_2{x}=2\log_x{4}\) を満た...

Ⅲ 問題 \(\alpha\)，\(\beta\) を正の実数とし，\(m\)，\(n\) をそれぞれ \(m>1\)，\(n>1\) を満たす実数とする。\(\alpha\)，\(\beta\)，\(m\)，\(n\) はさらに\[2\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}，\tan{\alpha}=\dfrac{1}{m}，\tan{\beta}=\dfrac{1}{n}\]を...

Ⅱ 問題 \(O\) を原点とする座標空間に，３点 \(A(6,2,0)\)，\(B(2,6,0)\)，\(C(2,4,2)\) がある。ベクトル \(\overrightarrow{OA}\) と\(\overrightarrow{OB}\) の内積は，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\boxed{\;\;アイ\;\;}\)である。...

Ⅰ 問題 正八角形ABCDEFGHを \(K\) とする。\(K\) の８個の頂点は，すべて同一円周上にある。(1) \(K\) の８個の頂点のうち，相異なる３個を選んで結び，三角形を作る。作られた三角形を \(T\) とする。(a) 相異なる３個の頂点の選び方は \(\boxed{\;\;アイ...

Ⅳ 問題 関数 \(f(x)=\dfrac{\log{x}}{x}\) (\(x>0\)) を考える。ただし，\(log\) は自然対数を表す。以下の問いに答えよ。必要であれば，自然対数の底 \(e\) に対して，\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x}=\infty\) を使ってもよい。(30点)(1...