【文系数学2/6】2025年度入試立教大学大問3 解答解説

2026-04-11

Ⅲ

問題

実数 \(a,\;b\) は定数とする。２次関数 \(f(x)=x^2+ax+b\) に対して，座標平面上の放物線 \(C\) を \(C:y=f(x)\) とする。 \(C\) 上の点 \(P\) を \(P(2\sqrt{2},\;f(2\sqrt{2}))\) とし，また，\(C\) と \(y\) 軸の交点を \(Q\) とする。さらに，円 \(D:x^2+y^2=1\) 上の点 \(R\Big(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)\) における \(D\) の接線を \(l\) とする。このとき，次の問いに答えよ。

(ⅰ) \(l\) の方程式を求めよ。

(ⅱ) \(l\) が \(C\) と接するとき，\(b\) を \(a\) を用いて表せ。

(ⅲ) \(l\) が \(P\) において \(C\) と接するとき，\(a,\;b\) の値をそれぞれ求めよ。

(ⅳ) \(a,\;b\) を(ⅲ)で求めた値とする。また，\(l\) と \(y\) 軸の交点を \(S\) とする。このとき，
\[線分\;SP , \;\;C \;の\; 0\le x \le 2\sqrt{2} の部分，\;\;線分\;QS\]
で囲まれる図形の面積 \(X\) を求めよ。

(ⅴ) \(a,\;b\) を(ⅲ)で求めた値とする。また，\(D\) 上の点 \(T\) を \(T(0,\;1)\) とする。このとき，
\[線分\;RP , \;\;C \;の\; 0\le x \le 2\sqrt{2} の部分，\;\;線分\;QT,\;\;D\;の弧\;TR\]
で囲まれる図形の面積 \(Y\) を求めよ。ただし，弧 \(TR\) は \(x\ge0\) にある方とする。

方針

ネタバレ注意(クリックで表示)

(ⅰ)円 \(x^2+y^2=r^2\) 上の点 \((x’,\;y’)\) における接線の方程式は \(xx’+yy’=r^2\) である。
(ⅱ)\(l\) と \(C\) の接点を \((s,\;f(s))\) とおく。この接点における接線の方程式を求め，(ⅰ)で求めた接線の方程式と係数比較をする。
(ⅲ)\(s=2\sqrt{2}\) の場合を考えて係数比較。
(ⅳ) (ⅲ)で求めた値を代入し，積分する。
(ⅴ) 面積 \(Y\) は面積 \(X\) から扇形 \(TOR\) と三角形 \(OSR\) を引いたものである。