問題
\(a(1)=2\)とし、\(a(2),a(3),a(4),…\)を次の関係で定める。\[a(2n)=3a(n)+1,\ \ \ \ a(2n+1)=3a(n)+2\ \ (n=1,2,…)\]以下の問に答えよ。
(1) \(a(7),a(9)\)を求めよ。
(2) 自然数\(n\)に対して、\(a(2^n+1)\)は、\(1\)または\(2\)のいずれかの値をとるような\(b_0,\ b_1,\ …\ ,\ b_n\)を用いて、\[a(2^n+1)=\sum_{k=0}^n b_k\cdot 3^k\]と表せる。\(b_0,\ b_1,\ …\ ,\ b_n\)をそれぞれ求めよ。
(3) 自然数\(n\)に対して、\(\sum\limits_{k=1}^{2^n-1} a(k)\)を求めよ。
方針
(1) 定義式に従って計算する。
例えば、\(a(7)=3a(3)+2=3\{3a(1)+2\}+2=26\)と計算できる。
(2) \(a(2^n+1)=3a(2^{n-1})+2\)であり、\(a(2^{n-1})=3a(2^{n-2})+1\), \(a(2^{n-2})=3a(2^{n-3})+1\), … となることから、\(a(2^n)=c_n\)のようにして置き換えれば上手くいきそうである。
(3) \(S_n=\sum\limits_{k=1}^{2^n-1} a(k)\)とおく。
このとき、\(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1} a(k)-\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} a(k)=S_{n+1}-\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} a(k)\)となり、
\(\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} a(k)\)を\(\sum\limits_{k=2^{n-1}}^{2^n-1} (a(2k)+a(2k+1))\)と変形して漸化式を適用することを考える！
解答
(1) \(a(7)=3a(3)+2=3(3a(1)+2)+2=3(3\cdot 2+2)+2=26\)
また、\(a(9)=3a(4)+2=3(3a(2)+1)+2\)で、
\(a(2)=3a(1)+1=7\)より、
\(a(9)=3(3\cdot 7+1)+2=68\)
(2) \(a(2^n+1)=3a(2^{n-1})+2\)である。
ここで、\(a(2^{n+1})=3a(2^{n})+1\)であることから、\(a(2^n)=c_n\)とおくことで
漸化式\(c_{n+1}=3c_n+1\)が得られる。
(ここで、初項は\(c_1=a(2^1)=a(2)=7\))
この漸化式を変形すると\(c_{n+1}+\frac{1}{2}=3(c_n+\frac{1}{2})\)となるため、
\(c_n=3^{n-1}(c_1+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\cdot 3^n-\frac{1}{2}\) である。
よって、\(a(2^n+1)=3c_{n-1}+2=\frac{5}{2}\cdot 3^n+\frac{1}{2}\) (これは\(n=1\)でも成立)
ここで、\(a(2^n+1)=\frac{5}{2}\cdot 3^n+\frac{1}{2}=2\cdot 3^n+\frac{3^n}{2}+\frac{1}{2}=2\cdot 3^n+\frac{3^n-1}{3-1}+1\)となり、
\(\frac{3^n-1}{3-1}\)は初項\(1\)、公比\(3\)の等比数列の初項から第\(n\)項までの和を表すため、
\(a(2^n+1)=2\cdot 3^n+(1\cdot 3^0+1\cdot 3^1+…+1\cdot 3^{n-1})+1=2\cdot 3^0+1\cdot 3^1+…+1\cdot 3^{n-1}+2\cdot 3^n\)
よって、\(b_0=b_n=2,\ b_1=b_2=…=b_{n-1}=1\)
(ただし、\(n=1\)のときは\(b_0=b_1=2\))
(3) \(S_n=\sum\limits_{k=1}^{2^n-1} a(k)\)とおく。
このとき、
\(S_{n+1}\)
\(=\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1} a(k)\)
\(=\sum\limits_{k=1}^{2^{n+2}-1} a(k)-\sum\limits_{k=2^{n+1}}^{2^{n+2}-1} a(k)\)
\(=S_{n+2}-\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} (a(2k)+a(2k+1))\)
\(=S_{n+2}-\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} \{(3a(k)+1)+(3a(k)+2)\}\)
\(=S_{n+2}-6\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}a(k) -3\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}1 \)
\(=S_{n+2}-6(\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}a(k)-\sum\limits_{k=1}^{2^n-1}a(k)) -3\{(2^{n+1}-1)-2^n+1\}\) (\(S_n\)や\(S_{n+1}\)を使う形に帰着！)
\(=S_{n+2}-6(S_{n+1}-S_{n})-3\cdot 2^n\)
よって、漸化式\(S_{n+2}-7S_{n+1}+6S_{n}-3\cdot 2^n=0\)が得られる。
今、上の漸化式の両辺を\(2^n\)で割って変形すると\(4\cdot \frac{S_{n+2}}{2^{n+2}}-14\cdot \frac{S_{n+1}}{2^{n+1}}+6\cdot \frac{S_n}{2^n}-3=0\)となる。
\(\frac{S_n}{2^n}=d_n\)とおくことで、漸化式\(4d_{n+2}-14d_{n+1}+6d_n-3=0\)が得られる。
更に両辺を\(4\)で割ることで、\(d_{n+2}-\frac{7}{2}d_{n+1}+\frac{3}{2}d_n-\frac{3}{4}=0\)となる。
この漸化式は\[\begin{cases} d_{n+2}-\frac{1}{2} d_{n+1}+\frac{3}{8} =3(d_{n+1}-\frac{1}{2} d_n+\frac{3}{8}) \\ d_{n+2}-3d_{n+1}-\frac{3}{2} =\frac{1}{2} (d_{n+1}-3d_n-\frac{3}{2}) \end{cases}\]と2通りの形に変形でき(※この変形は下の「補足」を参照)、
\(d_1=\frac{S_1}{2^1}=1,\ d_2=\frac{S_2}{2^2}=\frac{a(1)+a(2)+a(3)}{4}=\frac{a(1)+(3a(1)+1)+(3a(1)+2)}{4}=\frac{17}{4}\)に注意してそれぞれ漸化式を解くと、
\[\begin{cases} d_{n+1}-\frac{1}{2} d_{n}+\frac{3}{8} =3^{n-1}(\frac{17}{4}-\frac{1}{2} \cdot 1+\frac{3}{8})=3^{n}\cdot \frac{11}{8}…① \\ d_{n+1}-3d_{n}-\frac{3}{2} =\frac{1}{2^{n-1}} (\frac{17}{4}-3\cdot 1-\frac{3}{2})=-\frac{1}{2^{n+1}}…② \end{cases}\]
①-②を計算すると、\(\frac{5}{2}d_n+\frac{15}{8}=3^{n}\cdot \frac{11}{8}+\frac{1}{2^{n+1}}\)となるため、
\(d_n=3^{n}\cdot \frac{11}{20}+\frac{1}{2^{n}\cdot 5}-\frac{3}{4}\) となる。
\(d_n=\frac{S_n}{2^n}\)であるから、\(S_n=6^{n}\cdot \frac{11}{20}+\frac{1}{5}-3\cdot 2^{n-2}=\frac{11\cdot 6^{n}-15\cdot 2^n+4}{20}\)
補足
(3)の(※)での変形方法(記述答案では書く必要なし。計算用紙で完結させよう。)
ポイント:隣接三項間漸化式の考え方を応用する！！
\(d_{n+2}-\alpha d_{n+1}-\gamma =\beta (d_{n+1}-\alpha d_n-\gamma)\)を満たす\(\alpha ,\beta ,\gamma\)を求める。
これを変形すると\(d_{n+2}-(\alpha +\beta )d_{n+1}+\alpha \beta d_n+\gamma (\beta -1)=0\)となるため、もとの式と係数比較をすることで\[\begin{cases} \alpha +\beta =\frac{7}{2}…① \\ \alpha \beta =\frac{3}{2}…② \\ \gamma (\beta -1)=-\frac{3}{4}…③ \end{cases}\]が得られる。
①,②と解と係数の関係から、\(\alpha,\beta\)は\(2\)次方程式\(t^2-\frac{7}{2}t+\frac{3}{2}=0\)の解であることが分かる。
よって、\((\alpha ,\beta )=(\frac{1}{2},3),(3,\frac{1}{2})\)である。
(i) \((\alpha ,\beta )=(\frac{1}{2},3)\)のとき
③より\(\gamma (3-1)=-\frac{3}{4}\)なので、\(\gamma=-\frac{3}{8}\)
(ii)\((\alpha ,\beta )=(3,\frac{1}{2})\)のとき
③より\(\gamma (\frac{1}{2}-1)=-\frac{3}{4}\)なので、\(\gamma=\frac{3}{2}\)
よって、\((\alpha,\beta,\gamma)=(\frac{1}{2},3,-\frac{3}{8}),(3,\frac{1}{2},\frac{3}{2})\)
このようにして得られた値を\(d_{n+2}-\alpha d_{n+1}-\gamma =\beta (d_{n+1}-\alpha d_n-\gamma)\)に代入することで、解答のような漸化式が得られる。