【文系数学2/9】2025年度入試立教大学大問1 解答解説

2026-04-25

Ⅰ

問題

(ⅰ) \(2^{1-3x}\ge\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big)^x\) を満たす実数 \(x\) の値の範囲は \(\boxed{　ア　}\) である。

(ⅱ)赤玉３個と白玉４個を無作為に１列に並べるとき，白玉が両端にある確率は \(\boxed{　イ　}\) である。

(ⅲ) \(x,y,z\) は実数であり，\(x<y\) を満たすとする。３つの数 \(3,\;x,\;y\) がこの順に等差数列となり，さらに，４つの数 \(4,\;x,\;y,\;z\) がこの順に等比数列となるとき，\(x=\boxed{　ウ　},\;y=\boxed{　エ　},\;z=\boxed{　オ　}\) である。

(ⅳ)実数 \(a\) は定数とする。座標平面上の２つの直線 \((a+1)x+ay=1\)，\(ax+(a+2)y=2\) がただ１つの交点を持つための \(a\) の条件は \(\boxed{　カ　}\) である。

(ⅴ)定積分 \(\displaystyle\int^2_0(x+1)|x-1|dx\) の値は \(\boxed{　キ　}\) である。

(ⅵ)空間ベクトル \(\vec{p}=(x,\;y,\;z)\) は \(\vec{a}=(1,\;0,\;-2)\) と \(\vec{b}=(0,\;3,\;2)\) の両方に垂直であり，\(|\vec{p}|=7\) かつ \(z>0\) を満たしている。このとき，\(\vec{p}=(\;\boxed{　ク　},\;\boxed{　ケ　},\;\boxed{　コ　})\;\)

方針

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(ⅰ)両辺の対数をとると \((1-3x)\log{2}\ge x\log{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\) となるのでこれを用いて計算する。
(ⅱ)両端に白玉が固定されているすると，組み合わせが変わるのは内側の赤玉３個と白玉２個の並び方である。
(ⅲ)等差数列の公差を \(d\) とおくと，性質から \(3+2d=y,\;3+d=x\) という関係式が成り立つ。同様に等比数列でも関係式を組み立てて考える。
(ⅳ)直線が１点で交わるのは２つの直線の傾きが異なるときである。
(ⅴ) \(|x-1|\) より \(x<1, 1\le x\) に場合分けして考える。
(ⅵ) 垂直のとき内積が０であることと，\(\vec{p}\) の大きさが７であることから３つの式が立式できる。

解答

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(ⅰ)
\(\boxed{　ア　}：\dfrac{2}{5}\ge x\)
(ⅱ)
\(\boxed{　イ　}=\dfrac{2}{7}\)
(ⅲ)
\(\boxed{　ウ　}=6\)
\(\boxed{　エ　}=9\)
\(\boxed{　オ　}=\dfrac{27}{2}\)
(ⅳ)
\(\boxed{　カ　}：a≠-\dfrac{2}{3}\)
(ⅴ)
\(\boxed{　キ　}=2\)
(ⅵ)
\(\boxed{　ク　}=6\)
\(\boxed{　ケ　}=-2\)
\(\boxed{　コ　}=3\)