問題
\(a\)を実数とし、関数\(f(x)\)を次のように定める。\(f(x)=x^4+\frac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2\)
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 関数\(f(x)\)が極大値を持つような\(a\)のとり得る値の範囲を求めよ。
(2) 関数\(f(x)\)が\(x=0\)で極大値を持つような\(a\)のとり得る値の範囲を求めよ。
方針
\(f^{\prime}(x)=4x^3+4ax^2+2(a+2)x=2x(2x^2+2ax+a+2)\)である。
(1) \(f^{\prime}(x)=0\)の解として\(x=0\)があることは分かるため、他に解がある場合とない場合とで(さらにある場合のうち\(x=0\)が重解になるか否かも含めて)場合分けをする。
(2) (1)を上の方針で解けば、(2)はほぼ即答できる。
(1)で場合分けしたもののうち、\(x=0\)で極大値をとっているのがどのパターンなのかを確かめるだけで良い。
解答
