問題
\(xyz\)空間において、点\(P_1(3,-1,1)\)を中心とし半径が\(\sqrt{5}\)の球面\(S_1\)と、点\(P_2(5,0,-1)\)を中心とし半径が\(\sqrt{2}\)の球面\(S_2\)を考える。
(1) 線分\(P_1P_2\)の長さを求めよ。
(2) \(S_1とS_2\)が交わりを持つことを示せ。この交わりは円となる。この円を\(C\)とし、その中心を\(P_3\)とする。\(C\)の半径および中心\(P_3\)の座標を求めよ。
(3) (2)の円\(C\)に対し、\(C\)を含む平面を\(H\)とする。\(xy\)平面と\(H\)の両方に平行で、大きさが\(1\)のベクトルをすべて求めよ。
(4) 点\(Q\)が(2)の円\(C\)上を動くとき、\(Qとxy\)平面の距離\(d\)の最大値を求めよ。また、\(d\)の最大値を与える点\(Q\)の座標を求めよ。
方針
(1) 普通に計算するだけ。
(2) \(S_1とS_2\)が交わりを持つということを、中心間の距離の言葉で言い換えてみると上手くいく。
具体的には「中心間の距離が半径の差(の絶対値)より大きく、半径の和より小さい」という条件を満たすことを示せば、交わりを持つことが証明できる。
(3) 「平行」という条件は少し扱いにくいことから、「垂直」に言い換えて考えてみる。
「\(xy\)平面と平行」は「ベクトル\((0,0,1)\)と垂直」、「平面\(H\)と平行」は「ベクトル\((2,1,-2)\)と垂直」のようにして言い換えることで、求めるベクトルは
① ベクトル\((0,0,1)\)と垂直
② ベクトル\((2,1,-2)\)と垂直
③ 大きさが\(1\)
の3条件を満たすものだと分かる。
あとはこれを連立して解けば良い。
(4) これは空間内の円の媒介変数表示の方法を知らないと難しい。
～空間上の円の媒介変数表示～
中心が点\(P\)、半径\(r\)であり、大きさが\(r\)の互いに直交する2つのベクトル\(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\)を半径としてもつような円上の点を\(Q\)とすると、\[\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+(\cos{\theta})\overrightarrow{u}+(\sin{\theta})\overrightarrow{v}\]と表せる。
今回は上の公式で\(P=P_3,r=1,\overrightarrow{u}\)を(3)で求めたベクトルとして、残りの\(\overrightarrow{v}\)を求めてから解くという方針で解いていく。
解答
