問題
\(x\geq 2\)を満たす実数\(x\)に対し、\(f(x)=\frac{\log{(2x-3)}}{x}\)とおく。必要ならば、\(\lim_{t\to \infty}\frac{\log{t}}{t}=0\)であること、および、自然対数の底\(e\)が\(2<e<3\)を満たすことを証明なしで用いてもよい。
(1) \(f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^2(2x-3)}\)とおくとき、関数\(g(x)\) (\(x\geq 2\))を求めよ。
(2) (1)で求めた関数\(g(x)\)に対し、\(g(\alpha)=0\)を満たす\(2\)以上の実数\(\alpha\)がただ一つ存在することを示せ。
(3) 関数\(f(x)\) (\(x\geq 2\))の増減と極限\(\lim_{x\to \infty}f(x)\)を調べ、\(y=f(x)\) (\(x\geq 2\))のグラフの概形を\(xy\)平面上に描け。ただし、(2)の\(\alpha\)は用いてよい。グラフの凹凸は調べなくてよい。
(4) \(2\leq m<n\)を満たす整数\(m,n\)の組\((m,n)\)に対して、等式\[(＊)\ (2m-3)^n=(2n-3)^m\]が成り立つとする。このような組\((m,n)\)をすべて求めよ。
方針
(1) \(f(x)\)に対して商の微分公式を使い、その後通分することで\(g(x)\)を求めることが出来る。
(2) このような「解の存在」を示す問題が入試問題で出された場合、その解を具体的に求めることが出来ないことが多い。
この手の問題では中間値の定理を用いることが多いため、解法を知らなかった人は今回の問題を通して覚えて欲しい。
(3) \(f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x(2x-3)}\)であることから、\(x\geq 2\)においては\(f^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow g(x)=0\)であることに注意する。
そうすると、\(f^{\prime}(x)=0\)となるのは\(x=\alpha\)のときのみであることが分かる。
これに気をつけて増減表を書いて、さらに\(x\to \infty\)での\(f(x)\)の極限を求めることで\(y=f(x)\)の概形を描くことができる。
(4) (＊)に出てきている\(2m-3,2n-3\)の形が(1)から(3)で扱っていた\(f(x)\)の\(\log\)の中身に似ていることに気づけば、(1)から(3)が(4)の誘導となっていることに気づけるだろう。
よって、\(f(x)\)を使える形に持って行くことを考える。
(＊)の両辺に対して\(e\)を底とした自然対数をとることで、\(n\log{(2m-3)}=m\log{(2n-3)}\)となるため、これの両辺を\(mn\)で割れば\(\frac{\log{(2m-3)}}{m}=\frac{\log{(2n-3)}}{n}\)、すなわち\(f(m)=f(n)\)が得られる。
つまり(＊)を言い換えると、「\(y=f(x)\)の\(y\)座標が一致するような\(x\)座標の組で、\(x\)座標がともに自然数となる組\((m,n)\)を求めよ」となる。
(3)で求めたグラフを参考にすると、そのような条件を満たす\(m,n\)は\(m<\alpha<n\)を満たすと分かる。
よって、\(2\leq m<\alpha\)であるから、\(m\)の値で場合分けをして考える。
解答
補足
(4)の解答で\(m=3,4,5\)と場合分けして考える際、本来は\(m=4,5\)のときに解が存在しないことを証明しなければいけない。
例えば\(m=4\)のときは元の方程式\((2\cdot 4-3)^n=(2n-3)^4\)を満たす\(n\)が存在しないことを証明しなければいけない。
これは\(n\)が十分大きいときには左辺が右辺より大きくなることを帰納法で証明した後に、残りの\(n\)の値について場合分けをして考えれば解けるが、面倒である(それを\(m=5\)の場合にもう一度やらなければいけないことからなおさら面倒)。
よって、本解答ではグラフの形状に着目して\(m=4,5\)のときの解が存在しないことをより簡単な方法で証明する方法を採用した。