問題
\(xyz\)空間内の\(xy\)平面上にある円\(C:x^2+y^2=1\)および円板\(D:x^2+y^2\leq 1\)を考える。\(D\)を底面とし点\(P(0,0,1)\)を頂点とする円錐を\(K\)とする。\(A(0,-1,0),B(0,1,0)\)とする。\(xyz\)空間内の平面\(H:z=x\)を考える。すなわち、\(Hはxz\)平面上の直線\(z=x\)と線分\(AB\)をともに含む平面である。\(K\)の側面と\(H\)の交わりとしてできる曲線を\(E\)とする。\(-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)を満たす実数\(\theta\)に対し、円\(C\)上の点\(Q(\cos{\theta},\sin{\theta},0)\)をとり、線分\(PQ\)と\(E\)の共有点を\(R\)とする。
(1) 線分\(PR\)の長さを\(r(\theta)\)とする。\(r(\theta)\)を\(\theta\)を用いて表せ。
(2) 円錐\(K\)の側面のうち、曲線\(E\)の点\(A\)から点\(R\)までを結ぶ部分、線分\(PA\)、および線分\(PR\)により囲まれた部分の面積を\(S(\theta)\)とおく。\(\theta\)と実数\(h\)が条件\(0\leq \theta <\theta +h\leq \frac{\pi}{2}\)を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。\[\frac{h\{r(\theta)\}^2}{2\sqrt{2}}\leq S(\theta +h)-S(\theta)\leq \frac{h\{r(\theta +h)\}^2}{2\sqrt{2}}\]
(3) 円錐\(K\)の側面のうち、円\(C\)の\(x\geq 0\)の部分と曲線\(E\)により囲まれた部分の面積を\(T\)とおく。\(T\)を求めよ。必要であれば\(\tan{\frac{\theta}{2}}=u\)とおく置換積分を用いてもよい。
方針
この問題は(2)以降は難しい。
(1) まずは点\(R\)の座標を求める。
点\(R\)は直線\(PQ\)上の点であることから、\(\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{PQ}\)と表せる。
よって、\(\overrightarrow{OR}=(t\cos{\theta},t\sin{\theta},-t+1)\)となる。
点\(R\)が平面\(z=x\)上の点であったことにも注意すると\(t\cos{\theta}=-t+1\)という方程式が出てくることから、\(t\)について解いてから\(R\)の式に代入する。
こうして線分\(PR\)の長さを求めることが出来る。
(2) 円錐の側面という曲面上で面積の議論を行うのはかなり困難であることから、側面の展開図を用いて平面上で議論する。
最左辺と最右辺に\(r(\theta)\)や\(r(\theta +h)\)の\(2\)乗が現れていることをヒントにして、扇形の面積公式\(S=\frac{1}{2}r^2 \theta\)を使って評価することに気づけたら速く解ける。
(3) (2)のことから\(S^{\prime}(\theta)=\frac{\{r(\theta)\}^2}{2\sqrt{2}}\)となることが分かる。
これを用いて面積を計算していく。
解答
