問題
\(s\)を実数とし、数列\(\{a_n\}\)を\[a_1=s,\ (n+2)a_{n+1}=na_n+2\ (n=1,2,3,\ …\ )\]で定める。以下の問いに答えよ。
(1) \(a_n\)を\(n\)と\(s\)を用いて表せ。
(2) ある正の整数\(m\)に対して\(\sum_{n=1}^m a_n=0\)が成り立つとする。\(s\)を\(m\)を用いて表せ。
方針
(1) 漸化式の両辺に\(n+1\)をかけることで、\(b_n=(n+1)na_n\)とおいて階差型に帰着できる！
\(n=1\)のときの確認を忘れないように注意して、答えを求める。
(2) (1)で求めた\(a_n\)に\(\frac{1}{(n+1)n}\)という形が入っており、それに\(\Sigma\)がかかっているため部分分数分解を使うことに気づいたら、後は簡単な計算で\(s\)の条件が求まる。
解答
