難関国公立– category –

問題 \(S\)を\(xyz\)空間内の原点\(O(0,0,0)\)を中心とする半径\(1\)の球面とする。また、点\(P(a,b,c)\)を点\(N(0,0,1)\)とは異なる球面\(S\)上の点とする。点\(P\)と点\(N\)を通る直線\(l\)と\(xy\)平面との交点を\(Q\)とおく。このとき、以下の問いに答...

問題 \(a\)を実数とし、関数\(f(x)\)を次のように定める。\(f(x)=x^4+\frac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2\) このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 関数\(f(x)\)が極大値を持つような\(a\)のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) 関数\(f(x)\)が\(x=0\)で極大値を持つよう...

問題 原点を出発点として数直線上を動く点\(P\)がある。試行(＊)を次のように定める。 (＊) 「1枚の硬貨を1回投げて ・表が出た場合は点\(P\)を正の向きに1だけ進める。 ・裏が出た場合は1個のさいころを1回投げ、 奇数の目が出た場合は点\(P\)を正の向き...

問題 \(n\)を正の整数、\(a\)を正の実数とし、関数\(f(x)\)と\(g(x)\)を次のように定める。\[f(x)=n\log{x}, g(x)=ax^n\] また、曲線\(y=f(x)\)と曲線\(y=g(x)\)が共有点をもち、その共有点における2つの曲線の接線が一致しているとする。このとき、以下の...

問題 正の実数からなる2つの数列\(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\)を次のように定める。\[x_1=2,\ y_1=\frac{1}{2},\ x_{n+1}=(x_n)^5\cdot (y_n)^2,\ y_{n+1}=x_n\cdot (y_n)^6\]このとき、以下の問いに答えよ。 (1) \(k\)を実数とする。\(a_n=\log_2{x_n},\ b_n=...

問題 \(n\)は2以上の整数とする. 1枚の硬貨を続けて\(n\)回投げる. このとき, \(k\)回目\((1\leq k\leq n)\)に表が出たら\(X_k=1\), 裏が出たら\(X_k=0\)として, \(X_1, X_2,\) ... ,\(X_n\)を定める. \(Y_n=\sum_{k=2}^n X_{k-1} X_{k}\)とするとき, \(Y_...

問題 \(\theta\)は実数とする. \(xyz\)空間の2点\(A(0,0,\frac{\sqrt{2}}{4}), P(\cos{\theta},\sin{\theta},\frac{1}{2}\cos{\theta})\)を通る直線\(AP\)が\(xy\)平面と交わるとき, その交点を\(Q\)とする. \(\theta\)が\(-\frac{\pi}{4}<\theta <\...

問題 座標空間の4点\(O,A,B,C\)は同一平面上にないとする. \(s,t,u\)は0でない実数とする. 直線\(OA\)上の点\(L\), 直線\(OB\)上の点\(M\), 直線\(OC\)上の点\(N\)を\[\overrightarrow{OL}=s\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM}=t\overrightarrow{OB...

問題 \(e\)は自然対数の底とする. \(x>\frac{1}{\sqrt{e}}\)において定義された次の関数\(f(x),g(x)\)を考える。\[f(x)=x^2\log{x}\] \[g(x)=x^2\log{x}-\frac{1}{1+2\log{x}}\] 実数\(t\)は\(t>\frac{1}{\sqrt{e}}\)を満たすとする. 曲線\(y=f(x)\)...

問題 正の整数\(x,y,z\)を用いて\[N=9z^2=x^6+y^4\]と表される正の整数\(N\)の最小値を求めよ。 方針 一見因数分解の公式が使えそうだが、例えば与式を\((3z-x^3)(3z+x^3)=y^4\)のように変形したとしても一般の整数\(y\)の約数についての議論を展開するこ...