難関国公立– category –

問題 実数\(a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)に対して、整式\(f(x)=x^2-ax+1\)を考える。 (1) 整式\(x^4+x^3+x^2+x+1\)は\(f(x)\)で割り切れることを示せ。 (2) 方程式\(f(x)=0\)の虚数解であって虚部が正のものを\(\alpha\)とする。\(\alpha\)を極形式で表せ。た...

問題 四面体\(OABC\)において、\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}\)とおき、次が成り立つとする。\[\angle AOB=60^{\circ},|\overrightarrow{a}|=2,|\overrig...

問題 \(s\)を実数とし、数列\(\{a_n\}\)を\[a_1=s,\ (n+2)a_{n+1}=na_n+2\ (n=1,2,3,\ ...\ )\]で定める。以下の問いに答えよ。 (1) \(a_n\)を\(n\)と\(s\)を用いて表せ。 (2) ある正の整数\(m\)に対して\(\sum_{n=1}^m a_n=0\)が成り立つとする。\(s\)を\...

問題 関数\(f(x)=\sin{3x}+\sin{x}\)について、以下の問いに答えよ。 (1) \(f(x)=0\)を満たす正の実数\(x\)のうち、最小のものを求めよ。 (2) 正の整数\(m\)に対して、\(f(x)=0\)を満たす正の実数\(x\)のうち、\(m\)以下のものの個数を\(p(m)\)とする。極...

問題 赤玉\(4\)個と白玉\(5\)個の入った、中の見えない袋がある。玉はすべて、色が区別できるほかには違いはないものとする。\(A,B\)の\(2\)人が、\(A\)から交互に、袋から玉を\(1\)個ずつ取り出すゲームを行う。ただし取りだした球は袋の中に戻さない。\(...

問題 \(xyz\)空間内の\(xy\)平面上にある円\(C:x^2+y^2=1\)および円板\(D:x^2+y^2\leq 1\)を考える。\(D\)を底面とし点\(P(0,0,1)\)を頂点とする円錐を\(K\)とする。\(A(0,-1,0),B(0,1,0)\)とする。\(xyz\)空間内の平面\(H:z=x\)を考える。すなわち、\(Hは...

問題 \(x\geq 2\)を満たす実数\(x\)に対し、\(f(x)=\frac{\log{(2x-3)}}{x}\)とおく。必要ならば、\(\lim_{t\to \infty}\frac{\log{t}}{t}=0\)であること、および、自然対数の底\(e\)が\(2<e<3\)を満たすことを証明なしで用いてもよい。 (1) \(f^{\p...

問題 \(xyz\)空間において、点\(P_1(3,-1,1)\)を中心とし半径が\(\sqrt{5}\)の球面\(S_1\)と、点\(P_2(5,0,-1)\)を中心とし半径が\(\sqrt{2}\)の球面\(S_2\)を考える。 (1) 線分\(P_1P_2\)の長さを求めよ。 (2) \(S_1とS_2\)が交わりを持つことを示せ。こ...

問題 \(n\)を\(2\)以上の整数とする。それぞれ\(A,A,B\)と書かれた\(3\)枚のカードから無作為に\(1\)枚抜き出し、カードを元に戻す試行を考える。この試行を\(n\)回繰り返し、抜き出したカードの文字を順に左から右に並べ、\(n\)文字の文字列を作る。作っ...

問題 以下の問いに答えよ。 (1) \(t\)を\(t>1\)を満たす実数とする。正の実数\(x\)が2つの条件 (a) \(x>\frac{1}{\sqrt{t}-1}\) (b) \(x\geq 2\log_{t} x\) をともに満たすとする。このとき、不等式\(x+1>2\log_{t} (x+1)\)を示せ。 (2) \(n\leq ...