難関国公立– category –

問題 正の整数\(x,y,z\)を用いて\[N=9z^2=x^6+y^4\]と表される正の整数\(N\)の最小値を求めよ。 方針 一見因数分解の公式が使えそうだが、例えば与式を\((3z-x^3)(3z+x^3)=y^4\)のように変形したとしても一般の整数\(y\)の約数についての議論を展開するこ...

問題 次の各問に答えよ. 問1 \(i\)は虚数単位とする. 複素数\(z\)が, 絶対値が2である複素数全体を動くとき, \(|z-\frac{i}{z}|\)の最大値と最小値を求めよ. 問2 次の定積分の値を求めよ. (1) \(\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx...

問題 複素数平面上の点\(\frac{1}{2}\)を中心とする半径\(\frac{1}{2}\)の円の周から原点を除いた曲線を\(C\)とする。 (1)曲線\(C\)上の複素数\(z\)に対し, \(\frac{1}{z}\)の実部は1であることを示せ。 (2)\(\alpha, \beta\)を曲線\(C\)上の相異なる複素...

問題 \(n\)を2以上の整数とする。1から\(n\)までの数字が書かれた札が各1枚ずつ合計\(n\)枚あり, 横一列におかれている。1以上\((n-1)\)以下の整数\(i\)に対して, 次の操作(\(T_i\))を考える。 (\(T_i\)) 左から\(i\)番目の札の数字が, 左から\((i+1)\)番...

東大の数学 ― 受験数学を味わう 理系学部 大問は6個あり、試験時間は150分である。 2025年 第1問（積分｜内分点の描く曲線と面積）　👉 2025年度 東大理系 数学 第1問 第2問（極限｜定積分が絡む極限）　👉 2025年度 東大理系 数学 第2問 第3問（図形｜外...

問題 この問では, 0以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ。\(a\)を正の整数とし, \(f_a(x)=x^2+x-a\)とおく。 (1)\(n\)を正の整数とする。\(f_a(n)\)が平方数ならば, \(n\leq a\)であることを示せ。 (2)\(f_a(n)\)が平方数となる正の整数\(n\)の個数を\(...

問題 平行四辺形\(ABCD\)において, \(\angle ABC=\frac{\pi}{6}\), \(AB=a\), \(BC=b\), \(a\leq b\)とする。次の条件を満たす長方形\(EFGH\)を考え, その面積を\(S\)とする。 条件: 点\(A,B,C,D\)はそれぞれ辺\(EF,FG,GH,HE\)上にある。 ただし, 辺はその...

問題 (1)\(x>0\)のとき, 不等式\(\log{x}\leq x-1\)を示せ。 (2)次の極限を求めよ。\[\lim_{n\to \infty}n\int^{2}_{1} \log{(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})}dx\] 方針 (1)左辺を移項し、\(f(x)=x-\log{x}-1\)の\(x>0\)での増減を調べる。 微分によ...

問題 座標平面上の点\(A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0)\)を考える。実数\(0<t<1\)に対して, 線分\(AB\), \(BC\), \(CD\)を\(t:(1-t)\)に内分する点をそれぞれ\(P_t\), \(Q_t\), \(R_t\)とし, 線分\(P_tQ_t\), \(Q_tR_t\)を\(t:(1-t)\)に内分する点をそ...