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Ⅳ 問題 数列{\(a_n\)}を、\(a_1=10, a_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{9} {a^2_n}\) \((n=1,2,3,\cdot\cdot\cdot)\)によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。(1)すべての自然数\(n\)に対して\(a_n>3\)が成り立つことを示せ。(2)すべての自然数\(n...

Ⅲ 問題 座標平面上に\(3\)点\(A(0, 2), B(-\sqrt{3}, -1), C(\sqrt{3}, -1)\)があり、三角形\(ABC\)の内接円上に点\(P\)がある。また、\(2\)点\(D, E\)を\(\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{CE}\)となるよう...

Ⅱ 問題 以下の問いに答えよ。(１) \(1\)個のさいころを\(4\)回投げるとき、出る目の総和が\(21\)以上になる確率を求めよ。(２) \(1\)このさいころを\(5\)回投げるとき、出る目の総和が\(10\)以上になる確率を求めよ。 方針 ネタバレ注意 (１)総和が\(21\)...

Ⅰ 問題 以下の問いに答えよ。(1) \(12^{77}\)の桁数および最高位の数字を求めよ。ただし,\(\log_{10} 2=0.3010\), \(\log_{10} 3=0.4771\)とする。(２) \(a\)を実数とする。方程式 \(x^3-3ax+\dfrac{1}{\sqrt 2}=0\) が虚数解を持つ\(a\)の範囲を求めよ。 ...

問題 次の問に答えよ。 (1)関数\(f(x)=\frac{\cos{x}}{2+\sin{x}}\) \((0<x<2\pi)\)に対して、\(xy\)平面上の曲線\(y=f(x)\)を\(C\)とする。\(f(x)\)の増減、極値、\(C\)の凹凸、変曲点を調べ、\(C\)の概形を描け。 (2)次の極限値を求めよ。\[\lim_{...

問題 \(n\)は2以上の整数とする. 1枚の硬貨を続けて\(n\)回投げる. このとき, \(k\)回目\((1\leq k\leq n)\)に表が出たら\(X_k=1\), 裏が出たら\(X_k=0\)として, \(X_1, X_2,\) ... ,\(X_n\)を定める. \(Y_n=\sum_{k=2}^n X_{k-1} X_{k}\)とするとき, \(Y_...

問題 \(\theta\)は実数とする. \(xyz\)空間の2点\(A(0,0,\frac{\sqrt{2}}{4}), P(\cos{\theta},\sin{\theta},\frac{1}{2}\cos{\theta})\)を通る直線\(AP\)が\(xy\)平面と交わるとき, その交点を\(Q\)とする. \(\theta\)が\(-\frac{\pi}{4}<\theta <\...

問題 座標空間の4点\(O,A,B,C\)は同一平面上にないとする. \(s,t,u\)は0でない実数とする. 直線\(OA\)上の点\(L\), 直線\(OB\)上の点\(M\), 直線\(OC\)上の点\(N\)を\[\overrightarrow{OL}=s\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM}=t\overrightarrow{OB...

問題 \(e\)は自然対数の底とする. \(x>\frac{1}{\sqrt{e}}\)において定義された次の関数\(f(x),g(x)\)を考える。\[f(x)=x^2\log{x}\] \[g(x)=x^2\log{x}-\frac{1}{1+2\log{x}}\] 実数\(t\)は\(t>\frac{1}{\sqrt{e}}\)を満たすとする. 曲線\(y=f(x)\)...

問題 正の整数\(x,y,z\)を用いて\[N=9z^2=x^6+y^4\]と表される正の整数\(N\)の最小値を求めよ。 方針 一見因数分解の公式が使えそうだが、例えば与式を\((3z-x^3)(3z+x^3)=y^4\)のように変形したとしても一般の整数\(y\)の約数についての議論を展開するこ...