問題
正の整数\(x,y,z\)を用いて\[N=9z^2=x^6+y^4\]と表される正の整数\(N\)の最小値を求めよ。
方針
一見因数分解の公式が使えそうだが、例えば与式を\((3z-x^3)(3z+x^3)=y^4\)のように変形したとしても一般の整数\(y\)の約数についての議論を展開することが出来ない以上無駄である。
問題文には\(N\)の最小値を求めよと書いてあることから、答えが1つや2つでは収まらないということが予測できる(もし1つや2つなら「\(N\)を求めよ」や「\(N\)をすべて求めよ」となるはずである)ため、具体的な解を一つ手計算で求めることが出来るのではないかと予想する。
左辺が3の倍数であることから、mod 3で考えることで解の候補を絞ることを考える。
解答
補足
2025年の問題であることを考えると、上で出てきた答えはかなり綺麗ですね。