問題
(1)\(x>0\)のとき, 不等式\(\log{x}\leq x-1\)を示せ。
(2)次の極限を求めよ。\[\lim_{n\to \infty}n\int^{2}_{1} \log{(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})}dx\]
方針
(1)左辺を移項し、\(f(x)=x-\log{x}-1\)の\(x>0\)での増減を調べる。
微分により簡単に\(f(x)\geq 0\)が示されるので、必ず得点してもらいたい。
(2)これは(1)の誘導が使いにくいことから難しかったと思われる。
式を変形すると途中で微分の定義に基づく極限が出てくるが、これに気づくことができるか否かで差がついたと思われる。
解答
(1)
\(f(x)=x-\log{x}-1\)とおき、これの\(x>0\)での増減を調べる。
導関数は\(f'(x)=1-\frac{1}{x}\)となるので、\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\)
この関数は\(0<x<1\)で(狭義)単調減少し、\(1\leq x\)で単調増加する。
よって、\(f(x)\)は\(x=1\)で最小値をとり、その値は\(f(1)=0\)である。
よって、\(x>0\)において\(f(x)\geq 0\)となることから、移項して\(\log{x}\leq x-1\)が従う。
(2)
\(n\int^{2}_{1} \log{(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})}dx\)
\(=n[x\log{(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})}]^{2}_{1} -n\int^{2}_{1} x\cdot \frac{2}{1+x^{\frac{1}{n}}}\cdot \frac{x^{\frac{1}{n}-1}}{2n}dx\)
\(=2n\log{(\frac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2})}-\int^{2}_{1} \frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx\)
ここで、
\(2n\log{(\frac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2})}\)
\(=2n\{\log{(\frac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2})}-\log{(\frac{1+2^0}{2})}\}\)
\(=2\frac{\{\log{(\frac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2})}-\log{(\frac{1+2^0}{2})}\}}{\frac{1}{n}}\)であるから、
\(\lim_{n\to \infty}2n\log{(\frac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2})}=2\lim_{n\to \infty}\frac{\{\log{(\frac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2})}-\log{(\frac{1+2^0}{2})}\}}{\frac{1}{n}}=2g'(0)\) (ただし、\(g(x)=\frac{1+2^x}{2}\))
\(g'(x)=\frac{2^x\log{2}}{2}\)であるから、\(2g'(0)=2\cdot \frac{\log{2}}{2}=\log{2}\)
また、\(1\leq x\leq 2\)なる任意の\(x\)について、不等式\(\frac{1^{\frac{1}{n}}}{1+2^{\frac{1}{n}}}\leq \frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}\leq \frac{2^{\frac{1}{n}}}{1+1^{\frac{1}{n}}}\)が成り立つ。
よって、\(\int^{2}_{1}\frac{1^{\frac{1}{n}}}{1+2^{\frac{1}{n}}}dx \leq \int^{2}_{1}\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx \leq \int^{2}_{1}\frac{2^{\frac{1}{n}}}{1+1^{\frac{1}{n}}}dx\)
\(\therefore \frac{1^{\frac{1}{n}}}{1+2^{\frac{1}{n}}} \leq \int^{2}_{1}\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx \leq \frac{2^{\frac{1}{n}}}{1+1^{\frac{1}{n}}}\)
ここで、\(\lim_{n\to \infty} \frac{1^{\frac{1}{n}}}{1+2^{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to \infty} \frac{2^{\frac{1}{n}}}{1+1^{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{2}\)であるから、はさみうちの原理によって\(\lim_{n\to \infty}\int^{2}_{1}\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx =\frac{1}{2}\)
したがって、 \(\lim_{n\to \infty}n\int^{2}_{1} \log{(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})}dx=\log{2}-\frac{1}{2}\)
補足
\(\lim_{n\to \infty}\int^{2}_{1}\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx\)の計算をする際に、次のようなことをするのは少々危険である。
\(\lim_{n\to \infty}\int^{2}_{1}\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx=\int^{2}_{1}\lim_{n\to \infty}\frac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}}dx=\int^{2}_{1}\frac{1}{1+1}dx=\frac{1}{2}\)
このように計算しても上の解答と全く同じ結果が得られるが、今のように積分と極限の順序を入れ替えるという行為は必ずしもできるとは限らない。
これが可能であるための条件を述べるには高校数学の範囲を超えるため、少なくとも大学入試においては安易に順序を交換しない方が良い。
(※ 詳しく知りたい人は、「一様収束 積分 極限 交換」のようにして調べてみると良いだろう。)