問題
平行四辺形\(ABCD\)において, \(\angle ABC=\frac{\pi}{6}\), \(AB=a\), \(BC=b\), \(a\leq b\)とする。次の条件を満たす長方形\(EFGH\)を考え, その面積を\(S\)とする。
条件: 点\(A,B,C,D\)はそれぞれ辺\(EF,FG,GH,HE\)上にある。
ただし, 辺はその両端の点も含むものとする。
(1)\(\angle BCG=\theta \)とするとき, \(S\)を\(a,b,\theta\)を用いて表せ。
(2)\(S\)のとりうる値の最大値を\(a,b\)を用いて表せ。
方針
(1)図を描いて考えると、平行四辺形の各辺を斜辺として4つの直角三角形が張り付いている様子が分かる。
よって、三角比の関係を用いて長方形の縦と横の長さを求められるので、それを用いて面積を求める。
(2) (1)の式を見ると、三角関数の合成公式\(a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta + \alpha)}\)
(ただし、\(\sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\))が適用できることに気づく。
(1)の式の形を観察すれば、「\(S\)が最大値をとる\(\Leftrightarrow \sin{(2\theta +\alpha)}\)が最大値をとる」が分かるため、
\(\alpha\)の大小関係と\(\theta\)がとりうる値の範囲に注意しつつ最大値を求める。
解答
