問題
\(S\)を\(xyz\)空間内の原点\(O(0,0,0)\)を中心とする半径\(1\)の球面とする。また、点\(P(a,b,c)\)を点\(N(0,0,1)\)とは異なる球面\(S\)上の点とする。点\(P\)と点\(N\)を通る直線\(l\)と\(xy\)平面との交点を\(Q\)とおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 点\(Q\)の座標を\(a,b,c\)を用いて表せ。
(2) \(xy\)平面上の点\((p,q,0)\)と点\(N\)を通る直線を\(m\)とする。直線\(m\)と球面\(S\)の交点のうち、点\(N\)以外の交点の座標を\(p,q\)を用いて表せ。
(3) 点\((0,0,\frac{1}{2})\)を通り、ベクトル\((3,4,5)\)に直交する平面\(\alpha\)を考える。点\(P\)が平面\(\alpha\)と球面\(S\)との交わりを動くとき、点\(Q\)は\(xy\)平面上の円周上を動くことを示せ。
方針
(1) 2点\(P,N\)を通る直線を媒介変数\(t\)によるベクトル方程式により表し(\(xyz\)空間で直線を表すときは、基本的にベクトル方程式を用いた方が良い)、\(z\)座標が\(0\)となるような\(t\)の値を求める。
(2) 直線\(m\)についても(1)と同様にベクトル方程式を用いて表し、それを球面の方程式に代入して交点を求める。
(3) (2)がこの問題の誘導になっているということに気づく！
\(Q(p,q,0)\)とおくと、(2)で出てきた直線\(m\)は直線\(l\)に一致するため、(2)の結果より\(P(\frac{2p}{p^2+q^2+1},\frac{2q}{p^2+q^2+1},\frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1})\)とできる。
平面\(\alpha\)の方程式は\(6x+8y+10z=5\)と求まるため、これに今求めた\(P\)を代入して整理することで、円の方程式が出てくる。
解答
(1) \(l\)のベクトル方程式は、\((x,y,z)=(0,0,1)+t(a,b,c-1)\)、すなわち
\((x,y,z)=(at,bt,(c-1)t+1)\)となる。
\(Q\)は\(l\)上の点で\(z=0\)を満たすような点なので、
\((c-1)t+1=0\)が成り立つ。
点\(P\)と点\(N\)は異なるため\(c<1\) (すなわち\(c\ne 1\))であるから、\(t=\frac{1}{1-c}\)
よって、\(Q(\frac{a}{1-c},\frac{b}{1-c},0)\)
(2) \(m\)のベクトル方程式は\((x,y,z)=(0,0,1)+t(p,q,-1)\)、すなわち
\((x,y,z)=(pt,qt,-t+1)\)である。
今、(2)の題意を満たす点は\(x^2+y^2+z^2=1\)を満たすため、
\((pt)^2+(qt)^2+(-t+1)^2=1\)
整理して、\((p^2+q^2+1)t^2-2t=0\)
よって、\(t=0,\ \frac{2}{p^2+q^2+1}\)
ここで、\(t=0\)のときは\((x,y,z)=(0,0,1)\)となり、これは点\(N\)である。
よって、点\(N\)以外での直線\(m\)と球面\(S\)の交点は、
\(t=\frac{2}{p^2+q^2+1}\)を\((x,y,z)=(pt,qt,-t+1)\)に代入することで、
\((\frac{2p}{p^2+q^2+1},\frac{2q}{p^2+q^2+1},\frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1})\)であると分かる。
(3)条件を満たすような平面\(\alpha\)の方程式は、
\(3(x-0)+4(y-0)+5(z-\frac{1}{2})=0\)
よって、\(6x+8y+10z=5\)である。
ここで、点\(Q\)の座標を\((p,q,0)\)とおくと、(2)での直線\(m\)は直線\(l\)と一致することから、
(2)の結果より\(P(\frac{2p}{p^2+q^2+1},\frac{2q}{p^2+q^2+1},\frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1})\)だと分かる。
これが平面\(\alpha\)上にあることから、
\(6\cdot \frac{2p}{p^2+q^2+1}+8\cdot \frac{2q}{p^2+q^2+1}+10\cdot \frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1}=5\)
よって、\(12p+16q+10(p^2+q^2-1)=5(p^2+q^2+1)\)
変形して、\(5p^2+5q^2+12p+16q-15=0\)
整理して、\((p+\frac{6}{5})^2+(q+\frac{8}{5})^2=7\)
したがって、点\(Q\)は\(xy\)平面において、
中心\((-\frac{6}{5},-\frac{8}{5})\)、半径\(\sqrt{7}\)の円の円周上を動く。