問題
関数\(f(x)=\sin{3x}+\sin{x}\)について、以下の問いに答えよ。
(1) \(f(x)=0\)を満たす正の実数\(x\)のうち、最小のものを求めよ。
(2) 正の整数\(m\)に対して、\(f(x)=0\)を満たす正の実数\(x\)のうち、\(m\)以下のものの個数を\(p(m)\)とする。極限値\(\lim_{m\to \infty}\frac{p(m)}{m}\)を求めよ。
方針
(1) \(f(x)\)の式で三角関数の角度が統一されておらず扱いにくいため、3倍角の公式を用いて角度を統一する。
(2) (1)の過程で\(f(x)=0\)の解が\(x=\frac{n}{2}\pi\) (\(n\)は整数) となることが分かるため、それを踏まえて考える。
正の実数解は\(x=\frac{1}{2}\pi,\frac{2}{2}\pi,\ …\ ,\frac{[\frac{2m}{\pi}]}{2}\pi\)の、計\([\frac{2m}{\pi}]\)個あることから、\(p(m)=[\frac{2m}{\pi}]\)と分かる。(※記号\([\ ]\)を知らない人は、解答の下にある「補足」を呼んでください。)
\([\ ]\)の定義から\(\frac{2m}{\pi}-1<p(m)\leq \frac{2m}{\pi}\)が成り立つため、全体を\(m\)で割ってはさみうちの原理を適用すれば極限値が求まる。
解答
補足
記号\([\ ]\)について…
これはガウス記号と呼ばれるものであり、定義は以下の通り。
実数\(x\)に対し、\([x]\)は\(x\)以下となる最大の整数である。(例:\([1.2]=1,\ [-\sqrt{3}]=-2\))
これについては不等式\(x-1<[x]\leq x\)が成り立つことから、本問ではこの不等式を用いてはさみうちの原理を適用する、といった方針で解き進めた。