問題
実数\(a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)に対して、整式\(f(x)=x^2-ax+1\)を考える。
(1) 整式\(x^4+x^3+x^2+x+1\)は\(f(x)\)で割り切れることを示せ。
(2) 方程式\(f(x)=0\)の虚数解であって虚部が正のものを\(\alpha\)とする。\(\alpha\)を極形式で表せ。ただし、\(r^5=1\)を満たす実数\(r\)が\(r=1\)のみであることは、認めて使用してよい。
(3) 設問(2)の虚数\(\alpha\)に対して、\(\alpha^{2023}+\alpha^{-2023}\)の値を求めよ。
方針
(1) 地道に割り算を計算し、余りが\(0\)となることを証明すれば良い。
(2) 問題文の誘導から、「方程式\(x^5-1=0\)を使って考えるのだろう」ということが予想できる。
\(x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\)であることから、(1)より「\(f(x)=0\)の解は\(x^5-1=0\)の解でもある」ということが分かる。
このことから\(f(x)=0\)の解は\(x=\cos{\frac{2n}{5}\pi}+i\sin{\frac{2n}{5}\pi}\) (\(n=0,1,2,3,4\))の形をしていると分かるので、実部と虚部の符号に注意して\(\alpha\)の値を決定する。
(3) \(\alpha^5=1\)に注意すると、\(\alpha^{2023}+\alpha^{-2023}=\alpha^3+\alpha^2\)となることが分かる。
\(\alpha^3,\alpha^2\)を(1)で求めた、\(x^4+x^3+x^2+x+1\)を\(f(x)\)で割ったときの商に代入したら\(0\)になることから、解と係数の関係を使うことで答えを求めることが出来る。
解答
別解
(1) 「割り切れることを示せ」と書いてあることから、最終的には\(x^4+x^3+x^2+x+1\)が\(f(x)\)で割り切れてくれないと困る。
よって、割り切れたとしたときの商がどうなるかを先に求め、実際の展開結果が\(x^4+x^3+x^2+x+1\)に一致することを示すという方法もある。
具体的には以下の通り。
\(x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2-ax+1)(x^2+bx+1)\)とする。(商の定数項、\(x^2\)の係数については展開結果を考えることですぐに分かる。)
右辺の展開結果において\(x^3\)の係数は\(b-a\)となるため、左辺と見比べて\(b=a+1\)と分かる。(つまり、\(b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\))
これを踏まえて解答を作ると以下の通り。
\((x^2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}x+1)(x^2+\frac{\sqrt{5}+1}{2}x+1)\)
\(=(x^2+1)^2+x(x^2+1)-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}x^2\) (\(x^2+1\)をひとかたまりとして展開)
\(=x^4+2x^2+1+x^3+x-x^2\)
\(=x^4+x^3+x^2+x+1\)
よって、\(x^4+x^3+x^2+x+1\)は\(f(x)\)で割り切れる。
(3) \(\cos{\frac{\pi}{5}}\)の値を求めることが出来る人であれば、この問題はド・モアブルの定理を使うことでも解くことが出来る。
詳しくは下の通り。
～\(\cos{\frac{\pi}{5}}\)の求め方～
\(\cos{\frac{\pi}{5}}=x\)とおく。
\(\cos{\frac{2\pi}{5}}=-\cos{\frac{3\pi}{5}}\)が成り立つことに注意すると、2倍角・3倍角の公式から
\(2x^2-1=-(4x^3-3x)\)となる。
整理して、\(4x^3+2x^2-3x-1=0\)
変形して、\((x+1)(4x^2-2x-1)=0\)
よって、\(x=-1,\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}\)
\(x=\cos{\frac{\pi}{5}}\)は正であることから、\(x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\)である。
～\(\alpha^{2023}+\alpha^{-2023}\)の求め方～
\(\alpha^5=1\)より、\(\alpha^{2023}+\alpha^{-2023}=\alpha^3+\alpha^{-3}\)である。
(2)より\(\alpha=\cos{\frac{2}{5}\pi}+i\sin{\frac{2}{5}\pi}\)となることから、ド・モアブルの定理より
\(\alpha^3+\alpha^{-3}\)
\(=\cos{\frac{6}{5}\pi}+i\sin{\frac{6}{5}\pi}+\cos{(-\frac{6}{5}\pi)}+i\sin{(-\frac{6}{5}\pi)}\)
\(=\cos{\frac{6}{5}\pi}+i\sin{\frac{6}{5}\pi}+\cos{\frac{6}{5}\pi}-i\sin{\frac{6}{5}\pi}\)
\(=2\cos{\frac{6}{5}\pi}\)
\(=-2\cos{\frac{\pi}{5}}\)
\(=-2\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{4}\)
\(=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)