問題
四面体\(OABC\)において、\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}\)とおき、次が成り立つとする。\[\angle AOB=60^{\circ},|\overrightarrow{a}|=2,|\overrightarrow{b}|=3,|\overrightarrow{c}|=\sqrt{6},\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=3\]ただし、\(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\)は、\(2\)つのベクトル\(\overrightarrow{b}\)と\(\overrightarrow{c}\)の内積を表す。さらに、線分\(OC\)と線分\(AB\)は垂直であるとする。点\(C\)から\(3\)点\(O,A,B\)を含む平面に下ろした垂線を\(CH\)とし、点\(O\)から\(3\)点\(A,B,C\)を含む平面に下ろした垂線を\(OK\)とする。
(1) \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\)と\(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}\)を求めよ。
(2) ベクトル\(\overrightarrow{OH}\)を\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)を用いて表せ。
(3) ベクトル\(\overrightarrow{c}\)とベクトル\(\overrightarrow{HK}\)は平行であることを示せ。
方針
(1) \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\)は内積の定義に従って計算すれば求まる。
\(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}\)については直接求めることはできないが、\(OC\)と\(AB\)が垂直という条件から\(\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0\)が成り立つことに注意すれば、\(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}\)の値が求めたい答えだということが分かる。
(2) \(\overrightarrow{OH}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\)とおき、点\(H\)の定義から\(\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{a}=0,\ \overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{b}=0\)が成り立つことを用いて\(s\)と\(t\)の値を求める。
(3) 点\(K\)は平面\(ABC\)上の点であることから、実数\(u,v\)を用いて\(\overrightarrow{OK}=u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}+(1-u-v)\overrightarrow{c}\)と表すことが出来る。
\(\overrightarrow{OK}\)は\(\overrightarrow{AB}(=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}), \overrightarrow{AC}(=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\)と垂直であるという条件を使うことで、\(u\)と\(v\)の値を求める。
求めた値を代入し、\(\overrightarrow{HK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OH}\)を求めると、これが実際に\(\overrightarrow{c}\)のスカラー倍で表せていることから平行だと分かる。
解答
