問題
\(a\)を正の実数とし、\(f(x)=x^2-2ax+4a^2\)とする。\(O\)を原点とする\(xy\)平面上の放物線\(C: y=f(x)\)の頂点を\(A\)とする。直線\(OA\)と\(C\)の交点のうち\(A\)と異なるものを\(P(p,f(p))\)とし、\(O\)から\(C\)へ引いた接線の接点を\(Q(q,f(q))\)とする。ただし、\(q>0\)とする。
(1) \(p,q\)の値を\(a\)を用いて表せ。また、\(p>q\)であることを示せ。
(2) 放物線\(C\)の\(q\leq x\leq p\)の部分、線分\(OP\)、および線分\(OQ\)で囲まれた図形の面積を\(S\)とおく。\(S\)を\(a\)を用いて表せ。
(3) (2)の\(S\)に対し、\(S=\frac{2}{3}\)となるときの\(a\)の値を求めよ。
方針
(1) まず\(A\)の座標を平方完成により求める。その後放物線\(C\)と直線\(OA\)の式を連立することで\(P\)の座標を求める。
また、\(Q\)の座標については\(C\)の\((q,f(q))\)での接線の方程式を求め、それが\((0,0)\)を通るという条件から\(q\)の値を求めることが出来る。
(\(p>q\)については\(a>0\)に注意すれば明らか)
(2) まずは図示をすることでどの図形の面積を求めるのかを確認する。
この図形は積分により面積を求めることも出来るが、「解答」のように「\(\triangle OPQ\)」と「6分の1公式が使える図形」に分けて考えることで時間の短縮が出来る。
(3) (2)が解ければこれも問題なく解ける。
解答
