問題
以下の問いに答えよ。
(1) \(t\)を\(t>1\)を満たす実数とする。正の実数\(x\)が2つの条件
(a) \(x>\frac{1}{\sqrt{t}-1}\)
(b) \(x\geq 2\log_{t} x\)
をともに満たすとする。このとき、不等式\(x+1>2\log_{t} (x+1)\)を示せ。
(2) \(n\leq 2\log_2n\)を満たす正の整数\(n\)をすべて求めよ。
方針
(1) (b)の両辺に\(1\)を足して示したい式の左辺を作り出す。
その後、右辺の\(1\)を\(2\log_t {\sqrt{t}}\)として、これに対して(a)の不等式を変形したもの: \(\sqrt{t}>1+\frac{1}{x}\)を適用することで証明が出来る。
(2) (1)を\(t=2\)の場合について考える。
ここで、\(x=k\) (\(k\)は自然数)とすると、(1)で示したことは下のように言い換えることが出来る。
「自然数\(k\)が\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1\)より大きい(すなわち4以上)もとで、もし不等式\(x\geq 2\log_2 x\)が\(x=k\)で成り立つならば、\(n>k\)となるすべての自然数\(n\)に対して\(n>2\log_2 n\)である。」
これを用いて、下の解答のようにして考えるべき\(n\)の範囲を限定する。
解答
(1) (b)の両辺に\(1\)を足すことで\(x+1\geq 2\log_{t}x +1\)が成り立つ。
これを変形することで、\(x+1\geq 2(\log_{t} x+\frac{1}{2})\), すなわち
\(x+1\geq 2(\log_{t}x+\log_{t}\sqrt{t})\)が得られる。
ここで、\(t>1,x>0\)に注意して(a)を変形すると\(\sqrt{t}>1+\frac{1}{x}\)となることから
\(x+1>2(\log_{t}x+\log_{t}(1+\frac{1}{x}))\)である。
\(2(\log_{t}x+\log_{t}(1+\frac{1}{x}))=2\log_{t}\{x(1+\frac{1}{x})\}=2\log_{t}(x+1)\)であるから、
\(x+1>2\log_{t}(x+1)\)が従う。
(2) 以降、\(t=2\)として考える。
不等式(a),(b)は\(x=4\)について成り立つ。
実際\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1\)であり、\(1<2<4\)より\(1<\sqrt{2}<2\)であることから、\(4>2+1>\sqrt{2}+1\)は成り立っている。
また、\(4=2\log_24\)であるから、不等式\(4\geq 2\log_24\)も成り立っている。
よって、(1)で示したことより\(5>2\log_2 5\)である。
これより、\(x=5\)についても不等式(a),(b)は成り立つから\(6>2\log_2 6\)である。
以降同様にすることで、帰納的に\(5\)以上の自然数\(n\)に対しては\(n>2\log_2 n\)が成り立つことが分かるから、\(n\leq 2\log_2n\)を満たす自然数\(n\)を調べるときには\(n=1,2,3,4\)のみを調べれば良い。
・\(n=1\)のとき
\((左辺)=1\), \((右辺)=2\log_2 1=0\)より、不等式は成り立たない。
・\(n=2\)のとき
\((左辺)=2\), \((右辺)=2\log_2 2=2\)より、不等式は成り立つ。
・\(n=3\)のとき
\((左辺)=3\), \((右辺)=2\log_2 3>2\log_2 2\sqrt{2}=3\)より、不等式は成り立つ。
・\(n=4\)のとき
\((左辺)=4\), \((右辺)=2\log_2 4=4\)より、不等式は成り立つ。
以上より、求める\(n\)は\(n=2,3,4\)