問題
\(S\)を\(xyz\)空間内の原点\(O(0,0,0)\)を中心とする半径\(1\)の球面とする。また、点\(P(a,b,c)\)を点\(N(0,0,1)\)とは異なる球面\(S\)上の点とする。点\(P\)と点\(N\)を通る直線\(l\)と\(xy\)平面との交点を\(Q\)とおく。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 点\(Q\)の座標を\(a,b,c\)を用いて表せ。
(2) \(xy\)平面上の点\((p,q,0)\)と点\(N\)を通る直線を\(m\)とする。直線\(m\)と球面\(S\)の交点のうち、点\(N\)以外の交点の座標を\(p,q\)を用いて表せ。
(3) 点\((0,0,\frac{1}{2})\)を通り、ベクトル\((3,4,5)\)に直交する平面\(\alpha\)を考える。点\(P\)が平面\(\alpha\)と球面\(S\)との交わりを動くとき、点\(Q\)は\(xy\)平面上の円周上を動くことを示せ。
方針
(1) 2点\(P,N\)を通る直線を媒介変数\(t\)によるベクトル方程式により表し(\(xyz\)空間で直線を表すときは、基本的にベクトル方程式を用いた方が良い)、\(z\)座標が\(0\)となるような\(t\)の値を求める。
(2) 直線\(m\)についても(1)と同様にベクトル方程式を用いて表し、それを球面の方程式に代入して交点を求める。
(3) (2)がこの問題の誘導になっているということに気づく！
\(Q(p,q,0)\)とおくと、(2)で出てきた直線\(m\)は直線\(l\)に一致するため、(2)の結果より\(P(\frac{2p}{p^2+q^2+1},\frac{2q}{p^2+q^2+1},\frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1})\)とできる。
平面\(\alpha\)の方程式は\(6x+8y+10z=5\)と求まるため、これに今求めた\(P\)を代入して整理することで、円の方程式が出てくる。
解答
