Ⅰ
問題
次の問題文の空欄に最も適する答えを解答群から選び、その記号をマーク解答用紙にマークせよ。ただし、同じ記号を2度以上用いてもよい。(20点)
\(n\)を\(3\)以上の自然数とし、\(1\)から\(n\)までの\(n\)枚の番号札が\(3\)組ある。この\(3n\)枚の番号札をよくかき混ぜて、\(1\)枚ずつ順番に\(3\)回引く。ただし引いた番号札は元に戻さないものとする。\(1\)回目に引いた番号札の番号を\(X_1\)、\(2\)回目に引いた番号札の番号を\(X_2\)、\(3\)回目に引いた番号札の番号を\(X_3\)とする。このとき\(X_1\leq X_2\leq X_3\)となる確率を求めていこう。
(1) \(X_1=X_2=X_3\)となる確率は\(\boxed{ ア }\)である。
(2) \(X_1=X_2<X_3\)となる確率は\(\boxed{ イ }\)であり、\(X_1<X_2=X_3\)となる確率も同様に\(\boxed{ イ }\)である。
(3) 自然数\(k\) (\(2\leq k\leq n-1\))に対して、\(X_2=k\)かつ\(X_1<X_2<X_3\)となる確率は\(\boxed{ ウ }\)である。
(4) \(X_1<X_2<X_3\)となる確率は\(\boxed{ エ }\)である。
(5) 以上より、\(X_1\leq X_2\leq X_3\)となる確率は\(\boxed{ オ }\)である。
(解答選択肢は割愛)
方針
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(1) \(X_1\)としては何を選んでもよく、その選んだものに対して\(X_2,X_3\)が\(X_1\)と一致するように選べば良い。
引いた番号札は元に戻さないため、札の総量が変わることに注意して確率を求める。
(2) \(X_1=X_2=i\)とする。\(i=1,2,…,n-1\)
このとき、\(X_3\)として考えられるのは\(i+1,…,n\)の\(n-i\)種類の数であることに注意して、\(X_1=X_2=i\)のときの確率を求める。
求めた確率を\(i=1,2,…,n-1\)で和をとることで答えが分かる。
(3) \(X_2=k\)のとき、条件を満たすには\(X_1=1,2,…,k-1\)かつ\(X_3=k+1,…,n\)である必要がある。
これに注意して確率を求めれば良い。
(4) (3)で求めた確率を\(k=2,3,…,n-1\)で足し合わせる。
(5) \(X_1\leq X_2\leq X_3\)は、「\(X_1<X_2<X_3\)または\(X_1=X_2<X_3\)または\(X_1<X_2=X_3\)または\(X_1=X_2=X_3\)」と同じである。
言い換え後の各事象は排反であることから、求める確率は \(\boxed{ エ }\)\(+\)\(\boxed{ イ }\)\(\times 2 +\)\(\boxed{ ア }\) である。
解答
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