【理系数学A方式】2025年度入試法政大学大問2 解答解説

2026-02-07

Ⅱ

問題

\(O\) を原点とする座標空間に，３点 \(A(6,2,0)\)，\(B(2,6,0)\)，\(C(2,4,2)\) がある。
ベクトル \(\overrightarrow{OA}\) と\(\overrightarrow{OB}\) の内積は，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\boxed{\;\;アイ\;\;}\)である。

三角形 \(OAB\) の内角 \(\angle{AOB}\) の大きさを \(\theta\) とする。
\(\cos{\theta}=\dfrac{\boxed{　ウ　}}{\boxed{　エ　}}\) であり，三角形 \(OAB\) の面積は \(\boxed{\;\;オカ\;\;}\) である。

線分 \(AB\) を \(1:3\) に内分する点を \(D\) とする。
\(D\) の座標は，\(D\;(\;\boxed{　キ　}\;，\boxed{　ク　}\;，0)\) である。
直線 \(BC\) 上に点 \(E\) があり，\(E\) は \(\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{AB}=4\) を満たすとする。
\(r\) を実数とする。
\[\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+r\overrightarrow{BC}\]
とすると，\(r=\dfrac{\boxed{　ケ　}}{\boxed{　コ　}}\) である。

点 \(C\) から \(xy\) 平面に下ろした垂線と，\(xy\) 平面の交点を \(H\) とする。直線 \(CH\) と平面 \(ODE\) の交点を \(F\) とする。
\(s\)，\(t\) を実数とする。
\[\overrightarrow{OF}=s\overrightarrow{OD}+t\overrightarrow{OE}\]
とすると，\(s=\dfrac{\boxed{\;\;サシ\;\;}}{\boxed{　ス　}}\)，\(t=\dfrac{\boxed{\;\;セソ\;\;}}{\boxed{　タ　}}\) である。\(F\) の \(z\) 座標は \(\dfrac{\boxed{\;\;チツ\;\;}}{\boxed{　テ　}}\) である。

四面体 \(OABC\) の体積を \(V\) ，四面体 \(ODBF\) の体積を \(W\) とするとき，\(\dfrac{W}{V}=\dfrac{\boxed{　ト　}}{\boxed{　ナ　}}\) である。

方針

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ア～コ
主に内積を利用しながら基本的なベクトルの変形と成分表示の計算。

サ～テ
\(\overrightarrow{OF}\) が直線 \(CH\) 上の点でもあることに着目すると，実数 \(u\) を用いて
\(\overrightarrow{OF}=u\overrightarrow{OC}+(1-u)\overrightarrow{OH}\) とおける。
\(\overrightarrow{OF}\) について２通りの表し方ができたので，連立して \(s\)，\(t\) を求める。

ト，ナ
四面体 \(OABC\) は底面が三角形 \(OAB\)，高さが \(C\) の \(z\) 座標として考えられる。同様に，四面体 \(ODBF\) においても底面を \(ODB\) ，高さが \(F\) の \(z\) 座標として考えられるのでそれぞれの体積を出して比率を考える。

解答

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\(\boxed{　ア　}=2\)，\(\boxed{　イ　}=4\)
\(\boxed{　ウ　}=3\)，\(\boxed{　エ　}=5\)
\(\boxed{　オ　}=1\)，\(\boxed{　カ　}=6\)
\(\boxed{　キ　}=5\)，\(\boxed{　ク　}=3\)
\(\boxed{　ケ　}=3\)，\(\boxed{　コ　}=2\)
\(\boxed{　サ　}=-\)，\(\boxed{　シ　}=2\)，\(\boxed{　ス　}=9\)
\(\boxed{　セ　}=1\)，\(\boxed{　ソ　}=4\)，\(\boxed{　タ　}=9\)
\(\boxed{　チ　}=1\)，\(\boxed{　ツ　}=4\)，\(\boxed{　テ　}=3\)
\(\boxed{　ト　}=7\)，\(\boxed{　ナ　}=4\)