【理系数学A方式】2025年度入試法政大学大問3 解答解説

2026-02-07

Ⅲ

問題

\(\alpha\)，\(\beta\) を正の実数とし，\(m\)，\(n\) をそれぞれ \(m>1\)，\(n>1\) を満たす実数とする。\(\alpha\)，\(\beta\)，\(m\)，\(n\) はさらに
\[2\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}，\tan{\alpha}=\dfrac{1}{m}，\tan{\beta}=\dfrac{1}{n}\]
を満たすとする。

(1) \(n=2\) のとき，\(\cos^2{\beta}=\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}}\)，\(\cos{(2\beta)}=\dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\) である。

(2) (*は選択肢省略)
加法定理より，\(\tan{\Big(\dfrac{\pi}{4}-2\alpha\Big)}=\dfrac{\boxed{オ^*}}{\boxed{カ^*}}\) である。
\(\tan{(2\alpha)}\) を \(m\) の式で表すと，\(\tan{(2\alpha)}=\dfrac{\boxed{キ^*}}{\boxed{ク^*}}\) となる。
\(\tan{\beta}=\tan{\Big(\dfrac{\pi}{4}-2\alpha\Big)}\) であるから，\(\dfrac{1}{n}\) を \(m\) の式で表すと，\(\dfrac{1}{n}=\dfrac{\boxed{ケ^*}}{\boxed{コ^*}}\) となる。
\(\boxed{コ^*}-\boxed{ケ^*}=\boxed{サ^*}\) である。
\[n=1+\dfrac{\boxed{サ^*}}{\boxed{ケ^*}} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(ⅰ)\]
\(n>1\) であるから \(\boxed{サ^*}\) と \(\boxed{ケ^*}\) は同符号である。
\[\boxed{ケ^*}\;\;\boxed{シ^*}\;\;0 \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(ⅱ)\]
ただし，\(\boxed{シ^*}\) には不等号がはいる。
\(m>1\) であるから，不等式(ⅱ) の解は，\(m>\sqrt{\boxed{ス}}+\boxed{セ}\) である。

(3)(*は選択省略)
\(n\) が整数であるとする。
\(n\ge2\) であるから，(ⅰ)より，\(\boxed{サ^*}\;\;\boxed{ソ^*}\;\;\boxed{ケ^*}\) である。
ただし，ソは不等号がはいる。

(4) \(m>1\)，\(n>1\)，および(ⅰ)を満たす整数 \(m\) と整数 \(n\) の組 \((m,n)\) のうち，\(m\) が最大であるような組は \((m,n)=(\;\boxed{タ}\;，\boxed{チ}\;)\) である。

方針

ネタバレ注意(クリックで表示)

(1) \(1+\tan^2{\theta}=\dfrac{1}{\cos^2{\theta}}\)，\(\tan{(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\cdot\tan{\beta}}\)

(2) (1) 同様に \(\tan\) の公式を用いて計算。

(3) \(n\ge2\) より \(n=1+\dfrac{\boxed{サ}}{\boxed{ケ}}\ge2\) を考える。

(4) (3) の不等式と(2)の不等式の解から \(m\) の範囲を考える。範囲を満たしている整数 \(m\) のうち，\(n\) も整数になるものを選ぶ。

解答

ネタバレ注意(クリックで表示)

(1)
\(\boxed{　ア　}=4\)，\(\boxed{　イ　}=5\)
\(\boxed{　ウ　}=3\)，\(\boxed{　エ　}=5\)

(2)
\(\boxed{　オ　}=7\)，\(\boxed{　カ　}=8\)
\(\boxed{　キ　}=2\)，\(\boxed{　ク　}=7\)
\(\boxed{　ケ　}=6\)，\(\boxed{　コ　}=5\)
\(\boxed{　サ　}=4\)
\(\boxed{　シ　}=1\)
\(\boxed{　ス　}=2\)，\(\boxed{　セ　}=1\)

(3)
\(\boxed{　ソ　}=1\)

(4)
\(\boxed{　タ　}=3\)，\(\boxed{　チ　}=7\)