【文系数学2/6】2025年度入試立教大学大問1 解答解説

2026-04-11

Ⅰ

問題

(ⅰ)\(x+y=\sqrt{5}, xy=1\) のとき，\(x^4+y^4=\boxed{　ア　}\) である。

(ⅱ)\(0\le x<2\pi\) のとき，\(\sqrt{2}\sin{\Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)}+2\cos{x}\) の最大値は \(\boxed{　イ　}\) である。

(ⅲ)等式 \(\log_2{x}=2\log_x{4}\) を満たす実数 \(x\) をすべて求めると \(x=\boxed{　ウ　}\) である。

(ⅳ)三角形 \(ABC\) において，\(AB=1,\; AC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \;\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\) とする。辺\(AB\) を \(1:3\) に内分する点を \(D\) とし，辺 \(AC\) を \(p:1-p\) に内分する点を \(E\) とする。ただし，実数 \(p\) は \(0<p<1\) を満たすとする。直線 \(BE\) と直線 \(CD\) が直交するとき，\(p=\boxed{　エ　}\) である。

(ⅴ)実数 \(a\) は定数とし，\(f(x)=x^2-4x+9,\; g(x)=ax\) とする。すべての実数 \(x\) に対して \(f(x)\ge g(x)\) が成り立つような \(a\) の値の範囲は \(\boxed{　オ　}\) である。

(ⅵ)実数 \(a,b\) は定数とする。3次関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+2\) が \(x=-1\) と \(x=\dfrac{1}{3}\) のそれぞれで極値をとるとき，\(a=\boxed{　カ　},\; b=\boxed{　キ　}\) である。このとき，\(f(x)\) の極大値は \(\boxed{　ク　}\) である。

方針

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(ⅰ)\(x^4+y^4\) を \(x+y\) と \(xy\) を用いた形に変形する。\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) なので…
(ⅱ)このままでは合成ができないので，\(\sin{(x+\dfrac{\pi}{4})}\) を三角関数の加法定理を用いて合成できる形にしする。
(ⅲ)底をそろえる。
(ⅳ)垂直条件より \(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CD}=0\) であることを利用する。
(ⅴ)\(h(x)=f(x)-g(x)\ge 0\) を満たせば良い。このとき，\(h(x)\) は \(x\) 軸と接しているか \(x\) 軸と共有点を持たない。
(ⅵ)\(f(x)\) の極値が分かっているので，実数 \(k\) を用いて \(f'(x)=k\Big(x+1\Big)\Big(x-\dfrac{1}{3}\Big)\) とおける。

解答

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(ⅰ)
\(\boxed{　ア　}=7\)
(ⅱ)
\(\boxed{　イ　}=\sqrt{10}\)
(ⅲ)
\(\boxed{　ウ　}=4,\;\dfrac{1}{4}\)
(ⅳ)
\(\boxed{　エ　}=\dfrac{2}{3}\)
(ⅴ)
\(\boxed{　オ　}=-10\le a\le 2\)
(ⅵ)
\(\boxed{　カ　}=1\)
\(\boxed{　キ　}=-1\)
\(\boxed{　ク　}=3\)