【文系数学2/6】2025年度入試立教大学大問2 解答解説

2026-04-11

Ⅱ

問題

\(n\) を１以上の整数とする。箱の中に１から７までの数字が１つずつ書かれた７枚のカードがある。ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする。
「この箱から１枚のカードを無作為に取り出し，そのカードに書かれた数字を記録してからカードを箱の中に戻す」という操作を \(n\) 回繰り返す。記録された \(n\) 個の数字の和が偶数になる確率を \(p_n\) とする。このとき，次の問いに答えよ。

(ⅰ) \(p_1,\;p_2\) をそれぞれ求めよ。

(ⅱ) \(p_3\) を求めよ。

(ⅲ) \(p_{n+1}\) を \(p_n\) を用いて表わせ。

(ⅳ) \(p_n\) を \(n\) を用いて表わせ。

(ⅴ) \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}p_k\) を \(n\) を用いて表わせ。

方針

ネタバレ注意(クリックで表示)

(ⅰ)\(p_2\) は２回とも偶数または奇数の組み合わせのときの確率である。
(ⅱ)\(n\) 回目に出た数字を \(a_n\) ，\(n\) 個の数字の和を \(T_n\) とおく。\(T_3\) が偶数であるとは，\(T_2\) と \(a_3\) が偶数同士または奇数同士のときである。
(ⅲ)(ⅱ)同様に考えると \(n+1\) 個の和が偶数になるのは， \(T_n\) と \(a_{n+1\}\) が偶数同士または奇数同士のときを考える。
(ⅳ)(ⅲ)で出した漸化式を特性方程式を用いて変形する。
(ⅴ)\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r^{n-1}=\dfrac{1-r^n}{1-r}\)