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Ⅲ 問題 \(\alpha\)，\(\beta\) を正の実数とし，\(m\)，\(n\) をそれぞれ \(m>1\)，\(n>1\) を満たす実数とする。\(\alpha\)，\(\beta\)，\(m\)，\(n\) はさらに\[2\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}，\tan{\alpha}=\dfrac{1}{m}，\tan{\beta}=\dfrac{1}{n}\]を...

Ⅱ 問題 \(O\) を原点とする座標空間に，３点 \(A(6,2,0)\)，\(B(2,6,0)\)，\(C(2,4,2)\) がある。ベクトル \(\overrightarrow{OA}\) と\(\overrightarrow{OB}\) の内積は，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\boxed{\;\;アイ\;\;}\)である。...

Ⅰ 問題 正八角形ABCDEFGHを \(K\) とする。\(K\) の８個の頂点は，すべて同一円周上にある。(1) \(K\) の８個の頂点のうち，相異なる３個を選んで結び，三角形を作る。作られた三角形を \(T\) とする。(a) 相異なる３個の頂点の選び方は \(\boxed{\;\;アイ...

Ⅳ 問題 関数 \(f(x)=\dfrac{\log{x}}{x}\) (\(x>0\)) を考える。ただし，\(log\) は自然対数を表す。以下の問いに答えよ。必要であれば，自然対数の底 \(e\) に対して，\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x}=\infty\) を使ってもよい。(30点)(1...

Ⅱ 問題 次の問題文の空欄に最も適する答えを解答群から選び、その記号をマーク解答用紙にマークせよ。ただし、同じ記号を2度以上用いても良い。(20点) \(a\)を\(\frac{1}{\sqrt{2}}<a<1\)を満たす定数とし、数列\(\{S_n\}\)を次で定める。 \(S_n=\in...

Ⅲ 問題 数列 \(\{a_n\}\) を次で定める。\[a_1=8, \;a_{n+1}=2a_n^2+1 \;(n=1,2,3,\cdot\cdot\cdot\cdot)\]さらに，\(a_n\) を \(5\) で割った商を \(b_n\) ，余りを \(r_n\) とする。自然数 \(n\) に対して，以下の問いに答えよ。(30点)(1) \(r_n\) を求...

Ⅵ 問題 放物線 \(y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+\dfrac{9}{4}\) の \(y\ge 0\) の部分を \(C\) とおく。また，\(C\) 上で \(x\) 座標が \(3\) である点を \(P\) とおき，\(P\) における \(C\) の接線と \(P\) で直交する直線を \(l_1\) とおく。さらに，\(l_1\) と...

Ⅴ 問題 座標空間において４点 \(A(2, 3, 2)\)，\(B(3, 7, 4)\)，\(C(1, 2, 1)\)，\(D(-6, 3, 20)\) をとる。(1)\(\sin{\angle BAC}\) の値は \(\dfrac{\sqrt{\boxed{　ア　}}}{\boxed{　イ　}}\) である。(2)実数 \(k,l\) に対し，ベクトル \((1, k, l)\) ...

Ⅰ 問題 次の問題文の空欄に最も適する答えを解答群から選び、その記号をマーク解答用紙にマークせよ。ただし、同じ記号を2度以上用いてもよい。(20点) \(n\)を\(3\)以上の自然数とし、\(1\)から\(n\)までの\(n\)枚の番号札が\(3\)組ある。この\(3n\)枚の番...

Ⅳ 問題 連立不等式\(\begin{cases}2x^2+(k-9)x-2k+10<0\\x^2+(k+2)(k-2)x-k^2+3<0\end{cases}\)を(＊)とおく。ただし，\(k\) は実数の定数とする。(1) \(k=4\) のとき，(＊)の解は \(\dfrac{\boxed{　ア　}}{\boxed{　イ　}}<x<\boxed{　ウ　}...