地元国公立– category –

Ⅴ 問題 \(f(x)=\dfrac{\sin(\log x)}{x}\) \((x>1)\) について以下の問いに答えよ。(1)\(f'(x), f^''(x)\) を求めよ。(2) \(n\) を正の整数とする。関数 \(f(x)\) が極大値をとる \(x\) で, \(e^{2(n-1)\pi}<x<e^{2n\pi}\) となるものがただ \(1\) ...

Ⅳ 問題 \(i\) を虚数単位とする。\(a\) は \(1\) でない正の実数の定数とする。複素数平面において, 方程式 \(|z-a^2i|=a|z-i|\) を満たす点 \(z\) が表す図形を \(C\) とする。(1)図形 \(C\) は原点 \(O\) を中心とする円であることを示し, その半径を求...

Ⅲ 問題 座標平面において円 \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) を \(C\) とする。\(a\) を \(1\) より大きい実数とし, \(2\) 点 \(A(2a, 0)\), \(B(-a, 0)\) をとる。点 \(A\) を通る円 \(C\) の \(2\) 本の接線のうち傾きが小さい方を \(l_1\) とし, 点 \(B\) を通る...

Ⅱ 問題 正の実数 \(p\) に対して, \(f(x)=x^3-x+p\) とする。(1) \(x\)についての方程式 \(f(x)=0\) がただ \(1\) つの実数解をもつとき, \(p\) のとりうる値の範囲を求めよ。(2) \(a\), \(b\), \(c\) は実数で \(c>0\) とする。また, \(i\) を虚数単位と...

Ⅰ 問題 実数の組\((a,r)\)に関する以下の条件\((A)\)を考える。\((A)\) 初項 \(a\) ,公比 \(r\) の等比数列 \(\big\{a_n\big\}\) は,すべての正の整数 \(n\) について \(\tan a_{n+1}=\tan 3a_n\) を満たす。ただし,いずれの正の整数 \(n\) に対しても \(a...

Ⅵ 問題 \(f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x^2}{4}}\) \((x\ge0)\) とし, \(\alpha=\displaystyle\int^5_0{f(x)dx}\) とする。(1)\(f(x)\) \((x\ge0)\) が最大値をとることを示し, その値 \(M\) を求めよ。(2) \(0\le x\le5\) において \(e^{-\frac{25}{4}}\sqrt{x...

問題 1辺の長さが1の正六角形\(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\)がある。 1個のさいころを続けて5回投げ、出た目を順に\(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\)とおく。次の条件付確率をそれぞれ求めよ。 (1) 「\(n_1,n_2,n_3\)がすべて異なる」という条件のもとで、「三角形\(A_{n_1...

問題 \(\alpha\)を、\(|\alpha|<1\)を満たす複素数とする。\(\bar{\alpha}z\ne 1\)となる複素数\(z\)に対して\[w=\frac{\alpha -z}{1-\bar{\alpha}z}\]と定める。ただし、\(\bar{\alpha}\)は\(\alpha\)の共役複素数を表す。次の問に答えよ。 (1) \(z\)...

問題 四面体\(OABC\)において、点\(P,Q,R\)は、それぞれ辺\(OA,OB,OC\)を\(1:1,\ 2:1,\ 3:1\)の比に内分する。点\(C\)と\(\triangle PQR\)の重心\(G\)を通る直線が平面\(OAB\)と交わる点を\(H\)とする。ベクトル\(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{O...

問題 \(xy\)平面上に、原点\(O\)を中心とする半径\(1\)の円\(C\)がある。さらに、\(n=1,2,...\)に対して、中心\(O_n\)、半径\(r_n\)の円\(C_n\)があり、以下の(i),(ii),(iii)を満たす。 (i) 点\(O_1\)の座標は\((1-r_1,0)\)であり、かつ\(r_1<1\)である...