大学受験情報– category –

Ⅵ 問題 \(f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x^2}{4}}\) \((x\ge0)\) とし, \(\alpha=\displaystyle\int^5_0{f(x)dx}\) とする。(1)\(f(x)\) \((x\ge0)\) が最大値をとることを示し, その値 \(M\) を求めよ。(2) \(0\le x\le5\) において \(e^{-\frac{25}{4}}\sqrt{x...

問題 原点を出発点として数直線上を動く点\(P\)がある。試行(＊)を次のように定める。 (＊) 「1枚の硬貨を1回投げて ・表が出た場合は点\(P\)を正の向きに1だけ進める。 ・裏が出た場合は1個のさいころを1回投げ、 奇数の目が出た場合は点\(P\)を正の向き...

問題 \(n\)を正の整数、\(a\)を正の実数とし、関数\(f(x)\)と\(g(x)\)を次のように定める。\[f(x)=n\log{x}, g(x)=ax^n\] また、曲線\(y=f(x)\)と曲線\(y=g(x)\)が共有点をもち、その共有点における2つの曲線の接線が一致しているとする。このとき、以下の...

上智は「英語方式で戦う大学」である理由 上智大学は全国でも珍しく、全学部共通で“英語の受験方式”そのものが合否に直結する大学 です。 一般的な大学では 文学部だけ英語外部試験重視 国際系だけTOEFL/IELTSが反映 理系は外部試験ほぼ無関係という構造が...

問題 正の実数からなる2つの数列\(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\)を次のように定める。\[x_1=2,\ y_1=\frac{1}{2},\ x_{n+1}=(x_n)^5\cdot (y_n)^2,\ y_{n+1}=x_n\cdot (y_n)^6\]このとき、以下の問いに答えよ。 (1) \(k\)を実数とする。\(a_n=\log_2{x_n},\ b_n=...

問題 1辺の長さが1の正六角形\(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\)がある。 1個のさいころを続けて5回投げ、出た目を順に\(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\)とおく。次の条件付確率をそれぞれ求めよ。 (1) 「\(n_1,n_2,n_3\)がすべて異なる」という条件のもとで、「三角形\(A_{n_1...

問題 \(\alpha\)を、\(|\alpha|<1\)を満たす複素数とする。\(\bar{\alpha}z\ne 1\)となる複素数\(z\)に対して\[w=\frac{\alpha -z}{1-\bar{\alpha}z}\]と定める。ただし、\(\bar{\alpha}\)は\(\alpha\)の共役複素数を表す。次の問に答えよ。 (1) \(z\)...

問題 四面体\(OABC\)において、点\(P,Q,R\)は、それぞれ辺\(OA,OB,OC\)を\(1:1,\ 2:1,\ 3:1\)の比に内分する。点\(C\)と\(\triangle PQR\)の重心\(G\)を通る直線が平面\(OAB\)と交わる点を\(H\)とする。ベクトル\(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{O...

問題 \(xy\)平面上に、原点\(O\)を中心とする半径\(1\)の円\(C\)がある。さらに、\(n=1,2,...\)に対して、中心\(O_n\)、半径\(r_n\)の円\(C_n\)があり、以下の(i),(ii),(iii)を満たす。 (i) 点\(O_1\)の座標は\((1-r_1,0)\)であり、かつ\(r_1<1\)である...

問題 次の問に答えよ。 (1)定積分\[\int_{0}^{\log{\sqrt{3}}} \frac{e^{3x}+4e^{2x}+e^x}{e^{4x}+2e^{2x}+1}\, dx\]を求めよ。 (2)実数全体で定義された連続関数\(f(x)\)が、すべての実数\(x\)に対して\(f(x)>0\)、かつ\[f(x)=\int_{0}^{x} \frac{t}{(t^2...