Ⅲ
問題
数列 \(\{a_n\}\) を次で定める。
\[a_1=8, \;a_{n+1}=2a_n^2+1 \;(n=1,2,3,\cdot\cdot\cdot\cdot)\]
さらに，\(a_n\) を \(5\) で割った商を \(b_n\) ，余りを \(r_n\) とする。自然数 \(n\) に対して，以下の問いに答えよ。(30点)
(1) \(r_n\) を求めよ。
(2) \(b_n\) を \(5\) で割った余りを求めよ。
(3) \(a_n\) を \(50\) で割った余りを求めよ。
方針
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(1) \(a_n\) を \(5\) で割った商が \(b_n\)，余りが \(r_n\) なので \(a_n=5b_n+r_n\) が成り立つ。これを \(a_{n+1}=2a_n^2+1\) に代入して計算すると \(r_{n+1}\) が求められるので，具体的な数値から \(r_n\) を推測し，数学的帰納法によってそれを示す。
(2) \(a_n\) について \(n\) が偶数のときと奇数のときに場合分けして考える。\(b_n\) を \(5\) で割ったときの商を \(p_n\) ，余りを \(q_n\) とおく。(1)同様に \(q_n\) について推測ができるので，数学帰納法を用いてそれを証明する。
(3) \(a_n=5(5p_n+q_n)+r_n=25p_n+5q_n+r_n\) と表せる。これを \(25\) で割った余りから \(n\) が奇数の場合と偶数の場合で場合分けして \(50\) で割った余りを考える。このとき \(a_{n+1}=2a_n^2+1\) から \(n\ge 2\) のとき \(a_n\) が奇数になることに着目する。
解答
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