Ⅰ
問題
正八角形ABCDEFGHを \(K\) とする。
\(K\) の８個の頂点は，すべて同一円周上にある。
(1) \(K\) の８個の頂点のうち，相異なる３個を選んで結び，三角形を作る。作られた三角形を \(T\) とする。
(a) 相異なる３個の頂点の選び方は \(\boxed{\;\;アイ\;\;}\) 通りである。
(b) \(T\) が二等辺三角形になるような３個の頂点の選び方は \(\boxed{\;\;ウエ\;\;}\) 通りである。
(c) \(T\) が線分 \(AE\) を斜辺とする直角三角形になるような３個の頂点の選び方は \(\boxed{ オ }\) 通りである。
(d) \(T\) が直角三角形になるような３個の頂点の選び方は \(\boxed{\;\;カキ\;\;}\) 通りである。
(e) \(T\) が二等辺三角形ではなく，かつ，\(T\) が直角三角形でもないような３個の頂点の選び方は \(\boxed{\;\;クケ\;\;}\) 通りである。
(2) \(K\) の８個の頂点のうち，相異なる３点を選ぶ操作を２回行う。ここで，１回目に選んだ頂点を２回目に再び選んでよいものとする。例えば，１回目にAとBとCを選んだとき，２回目にAとBとDを選んでもよいし，AとBとCを選んでもよい。
１回目の操作で選んだ３点を頂点とする三角形を \(T_1\) とし，２回めの操作で選んだ３点を頂点とする三角形を \(T_2\) とする。
\(T_1\) と \(T_2\) が共有する頂点の個数を \(n\) とする。例えば，\(T_1\) の頂点がAとBとCで，\(T_2\) の頂点がCとDとEである場合は，\(n=1\) となる。
(a) \(n=0\) となる場合は \(\boxed{コサシ}\) 通りある。
(b) \(n=2\) となる場合は \(\boxed{スセソ}\) 通りある。
(c) \(T_1\) の頂点と \(T_2\) の頂点からなる集合が {\(A,B,C,D,E,F\)} であるとき，\(n=0\) となり，かつ，\(T_1\) の辺と \(T_2\) の辺が交わらないような場合は \(\boxed{ タ }\) 通りある。
(d) \(n=0\) となり，かつ，\(T_1\) の辺と \(T_2\) の辺が交わらないような場合は \(\boxed{チツテ}\) 通りある。
方針
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(1)
(a) ８個から３個の点を選ぶので \(_8C_3\)
(b) ある１点を頂角とし，二等辺三角形がいくつできるかを考える。
(c) AEは円に対する直径なので，円周角の定理が使える。
(d) 正八角形において，円の直径となる辺は４本ある。(c)では１本につき直角三角形がいくつできるかを求めた。
(e) 三角形の個数 \(-\) {(二等辺三角形の個数)＋(直角三角形の個数) \(-\) (二等辺三角形かつ直角三角形の個数)}で求められる。
(2)
(a) \(T_2\) では \(T_1\) で選ばなかった点から３点選べばよい。
(b) \(T_2\) では \(T_1\) で選んだ３点のなかから２点，選ばなかった５点のなかから１点選べばよい。
(c) 集合を円順列として考える。辺が交わらないとき円順列において \(T_1\) ，\(T_2\) の３点はそれぞれ隣り合っている。
(d) (c)より８点のなかから６点を選び，６点の円順列において３点が隣り合う場合を考える。
解答
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(1)
(a) \(\boxed{ ア }=5\)，\(\boxed{ イ }=6\)
(b) \(\boxed{ ウ }=2\)，\(\boxed{ エ }=4\)
(c) \(\boxed{ オ }=6\)
(d) \(\boxed{ カ }=2\)，\(\boxed{ キ }=4\)
(e) \(\boxed{ ク }=1\)，\(\boxed{ ケ }=6\)
(2)
(a) \(\boxed{ コ }=5\)，\(\boxed{ サ }=6\)，\(\boxed{ シ }=0\)
(b) \(\boxed{ ス }=8\)，\(\boxed{ セ }=4\)，\(\boxed{ ソ }=0\)
(c) \(\boxed{ タ }=6\)
(d) \(\boxed{ チ }=1\)，\(\boxed{ ツ }=6\)，\(\boxed{ テ }=8\)
解説
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