Ⅲ
問題
座標平面上に\(3\)点\(A(0, 2), B(-\sqrt{3}, -1), C(\sqrt{3}, -1)\)があり、三角形\(ABC\)の内接円上に点\(P\)がある。また、\(2\)点\(D, E\)を
\(\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{CE}\)
となるようにとる。ここで\(O\)は原点\((0,0)\)である。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) 内積の値\(\overrightarrow{PD}\cdot\overrightarrow{PE}\)が点\(P\)の位置によらず一定であることを示し、その値を求めよ。
(２) 線分\(DE\)の中点を\(M\)とする。点\(P\)が三角形\(ABC\)の内接円上を\(1\)周するとき、点\(M\)の軌跡を求めよ。
方針
ネタバレ注意
(1)三角形\(ABC\)は正三角形なので、内心と重心が一致する。つまり、内接円は原点が中心の単位円ということがわかるので、点\(P\)の座標を\((\cos\theta, \sin\theta)\)とおいて考えてみよう。
解答
(１)
(２)
