Ⅷ
問題
正方形に対し、その\(2\)の対角線の交点を、その正方形の中心と呼ぶ。また、すべての内角が\(180^{\circ}\)未満の四角形を凸四角形と呼ぶ。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)複素数平面上に正方形\(PQRS\)があり、その中心\(T\)から見て\(4\)点\(P, Q, R, S\)は反時計回りに並んでいる。頂点\(P, Q\)の座標を表す複素数を\(p, q\)とするとき、中心\(T\)の座標を表す複素数\(t\)を\(p, q\)を用いて表せ。
(2)複素数平面上に凸四角形\(ABCD\)がある。頂点\(A, B, C, D\)の座標を表す複素数をそれぞれ\(\alpha, \beta, \gamma, \delta\)とする。四角形\(ABCD\)の外側に線分\(AB\)を\(1\)辺とする正方形を描きその中心を\(X\)とする。同様に、\(ABCD\)の外側に線分\(CD\)を\(1\)辺とする正方形を描きその中心を\(Z\)とし、\(ABCD\)の外側に線分\(DA\)を\(1\)辺とする正方形を描きその中心を\(W\)とする。このとき、\(XZ=YW\)であり、かつ直線\(XZ\)と直線\(YW\)が直交することを証明せよ。
(3)(2)において、線分\(XZ\)と線分\(YW\)がそれらの中点で交わるとき、四角形\(ABCD\)はどのような四角形になるか、理由とともに述べよ。
方針
ネタバレ注意
(1)正方形であることから点\(P\)と点\(Q\)の位置関係を考えると、点\(Q\)は点\(P\)を点(T\)を中心に\(90^{\circ}\)回転させたものである。
(2)点\(X,Y,Z,W\)の座標を表す複素数をそれぞれ\(x,y,z,w\)とおいて、\(\alpha, \beta, \gamma, \delta\)を用いて表そう。
解答
（１）
（２）
（３）
