Ⅱ
問題
正の実数 \(p\) に対して, \(f(x)=x^3-x+p\) とする。
(1) \(x\)についての方程式 \(f(x)=0\) がただ \(1\) つの実数解をもつとき, \(p\) のとりうる値の範囲を求めよ。
(2) \(a\), \(b\), \(c\) は実数で \(c>0\) とする。また, \(i\) を虚数単位とする。\(a\), \(b+ci\), \(b-ci\) が方程式 \(f(x)=0\) の解であるとき, \(a\), \(c\), \(p\) をそれぞれ \(b\) を用いて表し, \(b\) のとり得る値の範囲を求めよ。
(3) (2)の \(b\), \(c\) について, 少なくともどちらか一方は整数でないことを示せ。
方針
ネタバレ注意
(1)\(f(x)\)のグラフの概形から考える。
(2)三次方程式の解が3つとも分かっているので, 解と係数の関係から \(a\), \(c\), \(p\) を表す。また, (1)で求めた \(p\)の条件から \(b\) の取りうる範囲を考える。
(3) \(b\), \(c\) が共に整数であると仮定し, それが成り立たないことを示す。
解答
(1)
(2)
(3)
