問題
次の問に答えよ。
(1)定積分\[\int_{0}^{\log{\sqrt{3}}} \frac{e^{3x}+4e^{2x}+e^x}{e^{4x}+2e^{2x}+1}\, dx\]を求めよ。
(2)実数全体で定義された連続関数\(f(x)\)が、すべての実数\(x\)に対して\(f(x)>0\)、かつ\[f(x)=\int_{0}^{x} \frac{t}{(t^2+1)f(t)}\, dt +1\]を満たすとき、\(f(x)\)を求めよ。
方針
(1) 「\(e^x\)の○乗」という形が多く出てきていることから、\(e^x=t\)という形の置換積分を行うと、\[\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t^2+4t+1}{t^4+2t^2+1}\, dt\]となる。
分母が\((t^2+1)^2\)の形になることと、定積分の変域が\(1\)から\(\sqrt{3}\)という、有名角における\(\tan{}\)の値が出てきていることから、\(t=\tan{\theta}\)という置換積分を行い計算を進める！
(2) まずは両辺を\(x\)で微分する。そうすると、\(f^{\prime}(x)=\frac{x}{(x^2+1)f(x)}\)となることから、両辺に\(f(x)\)をかけることで\(f(x)f^{\prime}(x)=\frac{x}{x^2+1}\)という等式が得られる。
変数を書き換えて\(f(t)f^{\prime}(t)=\frac{t}{t^2+1}\)とし、この式の両辺を\(0からx\)で積分することを考える！
解答
