問題
1辺の長さが1の正六角形\(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\)がある。
1個のさいころを続けて5回投げ、出た目を順に\(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\)とおく。次の条件付確率をそれぞれ求めよ。
(1) 「\(n_1,n_2,n_3\)がすべて異なる」という条件のもとで、「三角形\(A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}\)の面積が\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)である」という条件付確率
(2)「\(n_1,n_2,n_3\)がすべて異なり、かつ、\(n_4\ne n_5\)である」という条件のもとで、「線分\(A_{n_4}A_{n_5}\)が三角形\(A_{n_1}A_{n_2}A_{n_3}\)の面積を二等分する」という条件付確率
方針
(1) まずは三角形の形が(回転や反転を除いて)(\(\alpha\)),(\(\beta\)), (\(\gamma\))の3通りしかないことに気づく！((\(\alpha\)),(\(\beta\)), (\(\gamma\))の詳しい説明は解答を参照)
三角形の面積が\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)になるのが(\(\beta\))のときのみであることを踏まえ、(\(\beta\))になる場合の数を求めて条件付き確率を求める。
(2) パターン(\(\alpha\)),(\(\beta\))に対して、面積を2等分するような線分はただ1通りしかないということに気づく！
また、パターン(\(\gamma\))に対して、面積を2等分するような線分は頂点から引いた線分となり、これは3通りであることに気づく！
それが言えればあとは簡単な計算により条件付き確率を求めることが出来る。
解答
