問題
四面体\(OABC\)において、点\(P,Q,R\)は、それぞれ辺\(OA,OB,OC\)を\(1:1,\ 2:1,\ 3:1\)の比に内分する。点\(C\)と\(\triangle PQR\)の重心\(G\)を通る直線が平面\(OAB\)と交わる点を\(H\)とする。ベクトル\(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC}\)をそれぞれ\(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}\)とおく。次の問に答えよ。
(1) \(\overrightarrow{OH}\)を\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)で表せ。
さらに、\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3\), \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=1\), \(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=9\), \(|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}\)であり、直線\(CH\)が平面\(OAB\)に直交しているとする。
(2) \(|\overrightarrow{a}|\), \(|\overrightarrow{b}|\)を求めよ。
(3) \(\triangle OAB\)の面積を求めよ。
(4) 四面体\(OABC\)の体積を求めよ。
方針
(1) 重心の位置ベクトル\(\overrightarrow{OG}\)を求め、直線のベクトル方程式を用いて\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OC}+t\overrightarrow{CG}\)とする。
「点\(H\)が平面\(OAB\)上にある」という条件から\(t\)を消去し、その\(t\)の値を代入することで\(\overrightarrow{OH}\)を求める。
(2) 「直線\(CH\)が平面\(OAB\)と直交する」\(\Leftrightarrow\) 「\(\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{a}=0\)かつ\(\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{b}=0\)」という言い換えにより、それぞれ求めることが出来る。
(3) \((\triangle OABの面積)=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})^2}\)という公式を使えば、(2)の結果と\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3\)から直ちに求めることが出来る。
(4) 「直線\(CH\)が平面\(OAB\)と直交する」という条件から、求める体積を\(V\)とすると\[V=\frac{1}{3}\cdot (\triangle OABの面積)\cdot |\overrightarrow{CH}|\]が成り立つ。
\(\triangle OABの面積\)は(3)で求めていることから後は\(|\overrightarrow{CH}|\)を求めれば良いが、それは\(|\overrightarrow{CH}|^2\)を考えれば分かる。
(計算ミスに注意！！)
解答
