問題
\(\alpha\)を、\(|\alpha|<1\)を満たす複素数とする。\(\bar{\alpha}z\ne 1\)となる複素数\(z\)に対して\[w=\frac{\alpha -z}{1-\bar{\alpha}z}\]と定める。ただし、\(\bar{\alpha}\)は\(\alpha\)の共役複素数を表す。次の問に答えよ。
(1) \(z\)が\(|z|=\frac{1}{3}\)を満たしながら動くとき、\(w\)の描く図形\(D\)を求め、\(\alpha=\frac{1}{2}\)のとき、\(D\)を複素数平面上に図示せよ。
(2) \(\alpha\)が\(|\alpha|=\frac{1}{2}\)を満たしながら動くとき、(1)で求めた図形\(D\)が通過する範囲\(E\)を求め、\(E\)を複素数平面上に図示せよ。
方針
(1) \(w=\frac{\alpha -z}{1-\bar{\alpha}z}\)を\(z=\)の形に変形して考える。
その過程の変形で同値性が崩れないように注意。
(2) (1)で\(D\)が中心\(\frac{8\alpha}{9-|\alpha|^2}\), 半径\(\frac{3(1-|\alpha|^2)}{9-|\alpha|^2}\)の円を表すことが分かる。
よって、\(\alpha\)が\(|\alpha|=\frac{1}{2}\)を満たしながら動くとき、円\(D\)は中心\(\frac{8\alpha}{9-(\frac{1}{2})^2}=\frac{32}{35}\alpha\), 半径\(\frac{3(1-(\frac{1}{2})^2)}{9-(\frac{1}{2})^2}=\frac{9}{35}\)の円となる。
円の半径が一定であることから、円の中心の軌跡に注目して領域\(E\)を求める。
解答
