問題
1個のさいころを3回投げ、出た目を順に\(n_1, n_2, n_3\)とする。\(O\)を原点とする\(xy\)平面上の点\(A_1, A_2, A_3\)を\[A_k=(\cos{(\frac{2n_k}{5}\pi), \sin{(\frac{2n_k}{5}\pi)}})\ (k=1,2,3)\]によって定める。次の問に答えよ。
(1) 点\(A_1, A_2, A_3\)がすべて一致する確率を求めよ。
(2) \(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}\)と\(\overrightarrow{OA_3}\)が平行になる確率を求めよ。
(3)\(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}\)と\(\overrightarrow{OA_3}\)が平行になるという条件のもとで、\(n_1, n_2, n_3\)がすべて奇数である条件付き確率を求めよ。
方針
(1) \(\cos{}, \sin{}\)の周期性に注目。
\(n_iとn_j\)が一致するためには、\(|\frac{2n_i}{5}\pi-\frac{2n_j}{5}\pi|=2m\pi\) (\(m\)は非負整数)となればよい。
よって、\(|n_i-n_j|=5m\) (\(m\)は非負整数)
\(n_iとn_j\)のとりうる値の範囲に注意すると、\(|n_i-n_j|=0,5\)のときを考えれば良いと分かる！
(2) (1)の状況は(2)の条件を満たしていることに注意して、\(A_1\ne A_2\)のときのみを考える。
ベクトルの和を図形的に捉えることで、\(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}\)が\(\angle A_1OA_2\)の二等分線になることに気づく！
あとは\(1\)と\(6\)の重複に注意してパターンを数える。
(3) 奇数の組\((n_1,n_2,n_3)\)で(2)の条件を満たすものをすべて求める。
その際\(n_1=n_2\)のときと\(n_1\ne n_2\)のときに分けて考える。
解答
