問題
次の問に答えよ。
(1) 実数\(x\)に対して、\(e^x\geq x+1\)が成り立つことを示せ。
(2) 数列\(\{a_n\}\)を\[a_1=1, a_n=\frac{n}{n-1}(1-\frac{1}{3n})^3a_{n-1}\ (n=2,3,4,…)\]によって定める。
(i) \(n=2,3,4,…\)に対して、\[1<\frac{a_n}{a_{n-1}}<e^{\frac{1}{3n(n-1)}}\]が成り立つことを示せ。
(ii) \(n=1,2,3,…\)に対して、\[1\leq a_n <e^{\frac{1}{3}}\]が成り立つことを示せ。
方針
(1) 移項して\(f(x)=e^x-x-1\)の増減を考える。
微分を用いて\(f(x)\)の最小値が0以上であることを証明すれば良い。
(2)(i) 漸化式を変形することで、\(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}(1-\frac{1}{3n})^3\)が得られる。
ここで、
\(\frac{n}{n-1}(1-\frac{1}{3n})^3\)
\(=\frac{n}{n-1}(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^2}-\frac{1}{27n^3})\)
\(=\frac{1}{n-1}(n-1+\frac{1}{3n}-\frac{1}{27n^2})\)
\(=1+\frac{1}{3n(n-1)}(1-\frac{1}{9n})\) …(＊)
この形から、\(\frac{a_n}{a_{n-1}}\)が\(1\)より大きいことが分かる。
一方右辺の不等式を示すには(1)で示した不等式を使うことが必須である。
\(e^{\frac{1}{3n(n-1)}}-1\geq \frac{1}{3n(n-1)}\)より、\(\frac{1}{3n(n-1)}\)があれば不等式を使えそうだが、それはすでに(＊)で登場している！
(2)(ii) (i)で示した不等式が\(\frac{a_n}{a_{n-1}}\)に関するものであることから、これを\(2,3,4,…,n\)ですべてかけることを考える。
\(a_1=1\)であることと、(i)の不等式は\(n\geq 2\)のときに成り立つことに注意すると、2以上の\(n\)については\[1^{n-1}<a_n<e^{\frac{1}{3}(\frac{1}{2\cdot 1}+\frac{1}{3\cdot 2}+…+\frac{1}{n(n-1)})}\]と表される。
再右辺の指数部分については、部分分数分解を用いることで\(\frac{1}{3}\)未満であることがすぐに分かる。
あとは\(n=1\)についても与えられた不等式\(1\leq a_n<e^{\frac{1}{3}}\)が成り立つことも言及して、証明が完了する(これを言わないと減点される)。
解答
