問題
\(xy\)平面上の曲線\(C: x=y^2\)を考える。実数\(t\)に対して、曲線\(C\)上の点\(t^2,t\)における\(C\)の法線を\(l\)とする。次の問に答えよ。
(1) 法線\(l\)の方程式を求めよ。
(2) 曲線\(C\)と直線\(x=1\)で囲まれる領域を\(D\)とする。また、実数\(t\)が\(t\leq 0\)を満たしながら動くとき、法線\(l\)が通過する領域を\(E\)とする。\(DとE\)の共通部分を求め、図示せよ。
(3) (2)で求めた\(DとE\)の共通部分の面積を求めよ。
方針
(1) 法線の方程式を求めるために、\(C\)の方程式を\(x\)について微分すると、\(1=2y\cdot \frac{dy}{dx}\)のようになる。(右辺は合成関数の微分を用いた。こういった微分もできるようにしよう。)
よって、\(y\ne 0\)のもとで\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}\)となる。
これと、接線の傾きと法線の傾きの積が\(-1\)になることを利用して方程式を求める。(2直線の傾きがともに0でないときに限る)
(2)いわゆる「逆像法」により法線の通過領域を求める問題。
逆像法に慣れていない受験生は、この問題を通して逆像法の流れをつかもう！
(3) (2)の結果が正しく出ていれば、後は計算するだけである。
式の形がやや煩雑なので、計算ミスに注意しよう。
解答
