問題
\(xy\)平面上で, 連立不等式\(0<x\leq 1, 0\leq y\leq \log{\frac{1}{x}}\)で定まる領域と\(y\)軸の\(y\geq 0\)の部分を合わせた図形を\(D\)とする。\(D\)に含まれる三角形の面積の最大値を求めよ。
方針
まず三角形の面積が最大値をとるとき、頂点の3点がすべて領域の境界上にあるのではないかと考える。
その後3頂点がどのような配置で境界上にあるのかを考え、それぞれの場合について考えて面積の最大値を求める。
また、もし等積変形に気づくことができれば調べるパターンをより少なくできる！
問題の状況を工夫や発想によってより単純なものにすることができると、難しい問題も解きやすくなる。
解答
補足
上に用意した解答はどういった発想で書き上げられたのかがわかりにくいとは思うが、先ほど「方針」の欄でも述べたとおり「問題をより単純なものにする」といった姿勢を崩さないようにして書き上げてみたつもりでいる。
本来頂点を構成する3点は領域\(D\)内を自由に動き回っていたところを、「まず3点を領域の境界線上に固定し、次にどの境界線に何個の点があるかといった制限をかけ、最後に1辺が\(y=\log{\frac{1}{x}}\)に接するという制限を加える」といったように、段々と3点の移動範囲が狭まっていることを実感して欲しい。