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問題 座標平面上に3点\(A(x,0), B(x,y), C(0,y)\)をとる。ただし, \(B\)は単位円周上を動き, \(x>0, y>0\)である。このとき, 線分\(AB\)と\(BC\)の長さが等しくなる\(x\)の値は\(x=\)(ヌ)である。 次に, \(n\)を\(2\)以上の整数とし, \(k=1,2,……,n-1...

問題 以下の設問では, 区間\([a,b]\)で連続な関数\(f(x),g(x),h(x)\)に対して, 区間\([a,b]\)で\(f(x)\leq g(x)\)ならば\(\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx\)であること, および\(|\int_{a}^{b}h(x)dx|\leq \int_{a}^{b}|h(x)|dx\)であることをこ...

問題 点\(P,Q\)を数直線の原点におき,\(1\)個のさいころを投げて出た目に応じて\(P,Q\)を動かす。偶数の目が出たときは\(P\)を正の向きに\(1\)だけ動かし, \(5\)または\(6\)の目が出たときは\(Q\)を正の向きに\(1\)だけ動かす。たとえば, \(6\)の目が出た...

問題 座標平面上の点\(P(1,1)\)と点\(Q(1,-1)\)および曲線\[C:y=\frac{1}{x-4}\ \ \ (x>4)\]を考える。 (1)曲線\(C\)の接線で点\(Q\)を通るものは存在しないことを証明しなさい。 (2)曲線\(C\)の接線で点\(P\)を通るものを\(l\)とし, \(C\)と\(l\)の接...

問題 (1)複素数平面上で, 方程式\(|z+i|=2|z-\sqrt{3}|\)を満たす点\(z\)全体が表す図形は, 中心が(ア), 半径が(イ)の円である。 (2)\(n\)を自然数とする。1から\(n\)までの自然数の中で6または8または9で割り切れるものの個数を\(a_n\)で表す。このとき, ...

問題 \(xy\)平面上の曲線\(C: y=\sqrt[3]{x^2+2}\)を考え, \(C\)上の\((0,\sqrt[3]2)\)以外の点\(P(a,b)\)における接線を\(l: y=kx+c\)と表す。\(C\)と\(l\)の方程式から\(x\)を消去して得られる\(y\)についての3次方程式\(f(y)=0\)は\(b\)を重解としても...

問題 空間内に原点\(O\)を中心とする半径\(r\)の球面\(S\)がある。さらに, 半径が\(1,2,3\)の球面\(S_1,S_2,S_3\)があり, これら\(4\)つの球面のうちどの\(2\)つの球面も互いに外接している。\(S_1,S_2,S_3\)の中心を順に\(P_1,P_2,P_3\)とし, \(O,P_1,P_2...

問題 \(1\)から\(n\)までの異なる自然数が\(1\)つずつ書かれた\(n\)枚のカードが一列に並んでいる。このとき, どのカードも現在とは異なる位置に移動するように並べ替えてでいる順列の総数を\(a_n\)で表し, 並べ方の総数\(n!\)に占める\(a_n\)の割合を\(p_...

問題 \(xy\)平面上で, 連立不等式\(0<x\leq 1, 0\leq y\leq \log{\frac{1}{x}}\)で定まる領域と\(y\)軸の\(y\geq 0\)の部分を合わせた図形を\(D\)とする。\(D\)に含まれる三角形の面積の最大値を求めよ。 方針 まず三角形の面積が最大値をとるとき、頂...

傘がひっくり返るのはなぜ？ 　雨の日に傘をさしていると、風によって傘が裏返ることがありますよね。風に対して平行に傘を向けていてもひっくり返ってしまうことを疑問に感じたことはありませんか？実はこれ物理的に正しい現象なんです！普段何気なく使っ...