大学別攻略法– category –

問題 \(S\)を\(xyz\)空間内の原点\(O(0,0,0)\)を中心とする半径\(1\)の球面とする。また、点\(P(a,b,c)\)を点\(N(0,0,1)\)とは異なる球面\(S\)上の点とする。点\(P\)と点\(N\)を通る直線\(l\)と\(xy\)平面との交点を\(Q\)とおく。このとき、以下の問いに答...

問題 \(a\)を実数とし、関数\(f(x)\)を次のように定める。\(f(x)=x^4+\frac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2\) このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 関数\(f(x)\)が極大値を持つような\(a\)のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) 関数\(f(x)\)が\(x=0\)で極大値を持つよう...

Ⅴ 問題 \(f(x)=\dfrac{\sin(\log x)}{x}\) \((x>1)\) について以下の問いに答えよ。(1)\(f'(x), f^''(x)\) を求めよ。(2) \(n\) を正の整数とする。関数 \(f(x)\) が極大値をとる \(x\) で, \(e^{2(n-1)\pi}<x<e^{2n\pi}\) となるものがただ \(1\) ...

Ⅳ 問題 \(i\) を虚数単位とする。\(a\) は \(1\) でない正の実数の定数とする。複素数平面において, 方程式 \(|z-a^2i|=a|z-i|\) を満たす点 \(z\) が表す図形を \(C\) とする。(1)図形 \(C\) は原点 \(O\) を中心とする円であることを示し, その半径を求...

Ⅲ 問題 座標平面において円 \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) を \(C\) とする。\(a\) を \(1\) より大きい実数とし, \(2\) 点 \(A(2a, 0)\), \(B(-a, 0)\) をとる。点 \(A\) を通る円 \(C\) の \(2\) 本の接線のうち傾きが小さい方を \(l_1\) とし, 点 \(B\) を通る...

Ⅱ 問題 正の実数 \(p\) に対して, \(f(x)=x^3-x+p\) とする。(1) \(x\)についての方程式 \(f(x)=0\) がただ \(1\) つの実数解をもつとき, \(p\) のとりうる値の範囲を求めよ。(2) \(a\), \(b\), \(c\) は実数で \(c>0\) とする。また, \(i\) を虚数単位と...

Ⅰ 問題 実数の組\((a,r)\)に関する以下の条件\((A)\)を考える。\((A)\) 初項 \(a\) ,公比 \(r\) の等比数列 \(\big\{a_n\big\}\) は,すべての正の整数 \(n\) について \(\tan a_{n+1}=\tan 3a_n\) を満たす。ただし,いずれの正の整数 \(n\) に対しても \(a...

Ⅵ 問題 \(f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x^2}{4}}\) \((x\ge0)\) とし, \(\alpha=\displaystyle\int^5_0{f(x)dx}\) とする。(1)\(f(x)\) \((x\ge0)\) が最大値をとることを示し, その値 \(M\) を求めよ。(2) \(0\le x\le5\) において \(e^{-\frac{25}{4}}\sqrt{x...

問題 原点を出発点として数直線上を動く点\(P\)がある。試行(＊)を次のように定める。 (＊) 「1枚の硬貨を1回投げて ・表が出た場合は点\(P\)を正の向きに1だけ進める。 ・裏が出た場合は1個のさいころを1回投げ、 奇数の目が出た場合は点\(P\)を正の向き...

問題 \(n\)を正の整数、\(a\)を正の実数とし、関数\(f(x)\)と\(g(x)\)を次のように定める。\[f(x)=n\log{x}, g(x)=ax^n\] また、曲線\(y=f(x)\)と曲線\(y=g(x)\)が共有点をもち、その共有点における2つの曲線の接線が一致しているとする。このとき、以下の...