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問題 \(n\)を正の整数、\(a\)を正の実数とし、関数\(f(x)\)と\(g(x)\)を次のように定める。\[f(x)=n\log{x}, g(x)=ax^n\] また、曲線\(y=f(x)\)と曲線\(y=g(x)\)が共有点をもち、その共有点における2つの曲線の接線が一致しているとする。このとき、以下の...

問題 正の実数からなる2つの数列\(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\)を次のように定める。\[x_1=2,\ y_1=\frac{1}{2},\ x_{n+1}=(x_n)^5\cdot (y_n)^2,\ y_{n+1}=x_n\cdot (y_n)^6\]このとき、以下の問いに答えよ。 (1) \(k\)を実数とする。\(a_n=\log_2{x_n},\ b_n=...

問題 1辺の長さが1の正六角形\(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\)がある。 1個のさいころを続けて5回投げ、出た目を順に\(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\)とおく。次の条件付確率をそれぞれ求めよ。 (1) 「\(n_1,n_2,n_3\)がすべて異なる」という条件のもとで、「三角形\(A_{n_1...

問題 \(\alpha\)を、\(|\alpha|<1\)を満たす複素数とする。\(\bar{\alpha}z\ne 1\)となる複素数\(z\)に対して\[w=\frac{\alpha -z}{1-\bar{\alpha}z}\]と定める。ただし、\(\bar{\alpha}\)は\(\alpha\)の共役複素数を表す。次の問に答えよ。 (1) \(z\)...

問題 四面体\(OABC\)において、点\(P,Q,R\)は、それぞれ辺\(OA,OB,OC\)を\(1:1,\ 2:1,\ 3:1\)の比に内分する。点\(C\)と\(\triangle PQR\)の重心\(G\)を通る直線が平面\(OAB\)と交わる点を\(H\)とする。ベクトル\(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{O...

問題 \(xy\)平面上に、原点\(O\)を中心とする半径\(1\)の円\(C\)がある。さらに、\(n=1,2,...\)に対して、中心\(O_n\)、半径\(r_n\)の円\(C_n\)があり、以下の(i),(ii),(iii)を満たす。 (i) 点\(O_1\)の座標は\((1-r_1,0)\)であり、かつ\(r_1<1\)である...

問題 次の問に答えよ。 (1)定積分\[\int_{0}^{\log{\sqrt{3}}} \frac{e^{3x}+4e^{2x}+e^x}{e^{4x}+2e^{2x}+1}\, dx\]を求めよ。 (2)実数全体で定義された連続関数\(f(x)\)が、すべての実数\(x\)に対して\(f(x)>0\)、かつ\[f(x)=\int_{0}^{x} \frac{t}{(t^2...

問題 1個のさいころを3回投げ、出た目を順に\(n_1, n_2, n_3\)とする。\(O\)を原点とする\(xy\)平面上の点\(A_1, A_2, A_3\)を\[A_k=(\cos{(\frac{2n_k}{5}\pi), \sin{(\frac{2n_k}{5}\pi)}})\ (k=1,2,3)\]によって定める。次の問に答えよ。 (1) 点\(A_1, ...

問題 \(xy\)平面上の曲線\(C: x=y^2\)を考える。実数\(t\)に対して、曲線\(C\)上の点\(t^2,t\)における\(C\)の法線を\(l\)とする。次の問に答えよ。 (1) 法線\(l\)の方程式を求めよ。 (2) 曲線\(C\)と直線\(x=1\)で囲まれる領域を\(D\)とする。また、実数\...

問題 立方体\(ABCD-EFGH\)を考える。辺\(AD,GH\)の中点をそれぞれ\(P,Q\)とする。辺\(AB\)を\(t:(1-t)\)に内分する点を\(R\)とする(ただし、\(0<t<1\))。\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}, \overr...