【文系数学T方式】2026年度入試法政大学大問4 解答解説

2026-10-172026-10-21

Ⅳ

問題

三角形 \(PQR\) は半径 \(\dfrac{1}{3}\) の円 \(C\) に内接し，\(PQ=PR, \; \cos{\angle QPR}=\dfrac{4}{5}\) を満たすとする。
(1) \(QR=\dfrac{\boxed{　ア　}}{\boxed{　イ　}}\) であり，三角形 \(PQR\) の面積は \(\dfrac{\boxed{　ウ　}}{\boxed{\;\;エオ\;\;}}\) である。
(2) 点 \(P\) における \(C\) の接線と点 \(Q\) における \(C\) の接線の交点を \(S\) とする。このとき，三角形 \(PQS\) の面積は \(\dfrac{\boxed{　カ　}}{\boxed{\;\;キク\;\;}}\) である。

方針

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(1) 外接円の半径の大きさを \(R'\)とすると，正弦定理より \(\dfrac{QR}{\sin{\angle{QPR}}}=2R'\)
\(PQ=PR=x\)とおいて，余弦定理を用いると …
△\(PQR=\dfrac{1}{2}\cdot PQ \cdot PR \cdot \sin{\angle{QPR}}\) で求められる。

(2)接弦定理より \(\angle{PQS}=\angle{QPS}=\angle{PRQ}\) である。ゆえに正弦定理を用いて \(\sin{\angle{PRQ}}, \cos{\angle{PRQ}}\) を求めることが出来る。
次に，三角形の内角の和は \(180°\) なので \(\angle{PSQ}=\pi-2\angle{QPS}\)
三角形 \(PQS\) における正弦定理から \(PS=QS\) を求めると
△\(PQS=\dfrac{1}{2}\cdot PS \cdot QS \cdot \cos{\angle{PSQ}}\)

解答

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(1)
\(\boxed{　ア　}=2\)
\(\boxed{　イ　}=5\)
\(\boxed{　ウ　}=3\)
\(\boxed{　エ　}=2\)
\(\boxed{　オ　}=5\)

(2)
\(\boxed{　カ　}=3\)
\(\boxed{　キ　}=1\)
\(\boxed{　ク　}=0\)