大学別攻略法– category –

問題 次の問に答えよ。 (1)関数\(f(x)=\frac{\cos{x}}{2+\sin{x}}\) \((0<x<2\pi)\)に対して、\(xy\)平面上の曲線\(y=f(x)\)を\(C\)とする。\(f(x)\)の増減、極値、\(C\)の凹凸、変曲点を調べ、\(C\)の概形を描け。 (2)次の極限値を求めよ。\[\lim_{...

問題 \(n\)は2以上の整数とする. 1枚の硬貨を続けて\(n\)回投げる. このとき, \(k\)回目\((1\leq k\leq n)\)に表が出たら\(X_k=1\), 裏が出たら\(X_k=0\)として, \(X_1, X_2,\) ... ,\(X_n\)を定める. \(Y_n=\sum_{k=2}^n X_{k-1} X_{k}\)とするとき, \(Y_...

問題 \(\theta\)は実数とする. \(xyz\)空間の2点\(A(0,0,\frac{\sqrt{2}}{4}), P(\cos{\theta},\sin{\theta},\frac{1}{2}\cos{\theta})\)を通る直線\(AP\)が\(xy\)平面と交わるとき, その交点を\(Q\)とする. \(\theta\)が\(-\frac{\pi}{4}<\theta <\...

問題 座標空間の4点\(O,A,B,C\)は同一平面上にないとする. \(s,t,u\)は0でない実数とする. 直線\(OA\)上の点\(L\), 直線\(OB\)上の点\(M\), 直線\(OC\)上の点\(N\)を\[\overrightarrow{OL}=s\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM}=t\overrightarrow{OB...

問題 \(e\)は自然対数の底とする. \(x>\frac{1}{\sqrt{e}}\)において定義された次の関数\(f(x),g(x)\)を考える。\[f(x)=x^2\log{x}\] \[g(x)=x^2\log{x}-\frac{1}{1+2\log{x}}\] 実数\(t\)は\(t>\frac{1}{\sqrt{e}}\)を満たすとする. 曲線\(y=f(x)\)...

問題 正の整数\(x,y,z\)を用いて\[N=9z^2=x^6+y^4\]と表される正の整数\(N\)の最小値を求めよ。 方針 一見因数分解の公式が使えそうだが、例えば与式を\((3z-x^3)(3z+x^3)=y^4\)のように変形したとしても一般の整数\(y\)の約数についての議論を展開するこ...

問題 次の各問に答えよ. 問1 \(i\)は虚数単位とする. 複素数\(z\)が, 絶対値が2である複素数全体を動くとき, \(|z-\frac{i}{z}|\)の最大値と最小値を求めよ. 問2 次の定積分の値を求めよ. (1) \(\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx...

問題 複素数平面上の点\(\frac{1}{2}\)を中心とする半径\(\frac{1}{2}\)の円の周から原点を除いた曲線を\(C\)とする。 (1)曲線\(C\)上の複素数\(z\)に対し, \(\frac{1}{z}\)の実部は1であることを示せ。 (2)\(\alpha, \beta\)を曲線\(C\)上の相異なる複素...

問題 \(n\)を2以上の整数とする。1から\(n\)までの数字が書かれた札が各1枚ずつ合計\(n\)枚あり, 横一列におかれている。1以上\((n-1)\)以下の整数\(i\)に対して, 次の操作(\(T_i\))を考える。 (\(T_i\)) 左から\(i\)番目の札の数字が, 左から\((i+1)\)番...

東大の数学 ― 受験数学を味わう 理系学部 大問は6個あり、試験時間は150分である。 2025年 第1問（積分｜内分点の描く曲線と面積）　👉 2025年度 東大理系 数学 第1問 第2問（極限｜定積分が絡む極限）　👉 2025年度 東大理系 数学 第2問 第3問（図形｜外...