Ⅱ
問題
正の実数 \(x,y\) に対し，\(z=\Big(2x+\dfrac{5}{y}\Big)\Big(5y+\dfrac{8}{x}\Big)\) とおく。
(1) \(z\) の最小値は \(\boxed{\;\;アイ\;\;}\) である。
(2) \(z\) が最小値をとり，かつ \(x+y=5\) のとき，\(x^2+y^2=\boxed{\;\;ウエ\;\;}\) である。
方針
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(1) \(z=\Big(2x+\dfrac{5}{y}\Big)\Big(5y+\dfrac{8}{x}\Big)=10xy+\dfrac{40}{xy}+41\) であり、\(xy>0\) から相加・相乗平均が使えそう…
(2) \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)
解答
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(1)
\(\boxed{ ア }=8\)
\(\boxed{ イ }=1\)
(2)
\(\boxed{ ウ }=2\)
\(\boxed{ エ }=1\)
解説
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